Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — основной геометрический объект, у которого нет размера: ни длины, ни ширины, ни толщины. На чертеже её изображают маленьким следом и обозначают одной заглавной латинской буквой, например A. Точки нужны, чтобы задавать положение объектов и отмечать их границы.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. На рисунке её проводят ограниченно, но мысленно продолжают в обе стороны; если на ней лежат точки A и B, её обозначают прямой AB или BA. По двум точкам можно однозначно назвать проведённую прямую.

Отрезок — часть прямой между двумя точками вместе с этими точками. Точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают буквами его концов: AB. Это понятие нужно, когда рассматривают ограниченную часть прямой и измеряют её длину.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами; угол с вершиной O и сторонами OA и OB записывают как ∠AOB или ∠BOA. Такое обозначение помогает сразу понять, какие лучи образуют угол.

Как это устроено

Геометрическую фигуру рассматривают как множество точек, объединённых определённым расположением. Например, все точки, лежащие на одной линии, образуют прямую, а точки между двумя заданными концами — отрезок. Фигуры изображают на плоскости, а словами и буквами описывают их состав и положение.

Чтобы получить отрезок из прямой, на ней отмечают две точки и берут только часть между ними, включая сами точки. Всё, что находится за концами, в отрезок уже не входит. Поэтому прямая бесконечна в обе стороны, а отрезок имеет определённые границы и конечную длину.

Луч получается, если на прямой выбрать начальную точку и одно направление движения. Начальная точка входит в луч, а продолжение в выбранную сторону не прекращается. В обратную сторону луч не идёт, поэтому у него есть начало, но нет конца.

Два луча с общим началом образуют угол, потому что их направления расходятся из одной точки. Общая точка становится вершиной, а каждый луч — стороной угла. При записи тремя буквами вершину ставят в середину: в ∠AOB буква O показывает, какие два луча нужно рассматривать.

Фигуры могут занимать плоскость по-разному. Если у них есть одна или несколько одинаковых точек, эти точки называют общими; при пересечении прямых общей бывает точка пересечения. Фигуры без общих точек расположены отдельно, например два отрезка, находящиеся на разных участках плоскости.

Основные геометрические фигуры

Пользуясь таблицей, сначала определите, из каких частей состоит фигура, а затем проверьте наличие начала и конца. После этого выберите обозначение: для угла особенно важно поставить букву вершины в середину.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Запишите обозначение прямой, проходящей через них. Нужно понять, какая фигура названа в условии, и использовать две точки, лежащие на этой прямой.

1. Прямая обозначается двумя заглавными буквами.
2. На данной прямой выбраны точки A и B.
3. Записываем их по порядку: AB; можно также поменять порядок букв.

Ответ: прямая AB или прямая BA.

Задача 2

На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Назовите отрезки, на которые точка B делит отрезок AC. Сначала определим весь исходный отрезок, затем выделим его части по точке, расположенной внутри.

1. Концы исходного отрезка — A и C, поэтому это отрезок AC.
2. Точка B лежит между концами и разделяет его на левую и правую части.
3. Первая часть имеет концы A и B, вторая — B и C.

Ответ: отрезки AB и BC.

Задача 3

Из точки O проведены лучи OA и OB. Запишите угол с вершиной O двумя способами и укажите его стороны. В обозначении угла нужно назвать обе стороны, но вершину поставить между буквами.

1. Общие начала лучей OA и OB — точка O, значит, это вершина угла.
2. Для записи используем три буквы A, O и B, помещая O в середину.
3. Поменяв местами названия сторон, получаем вторую запись.

Ответ: ∠AOB и ∠BOA; стороны угла — лучи OA и OB, вершина — точка O.

Типичные ошибки

Прямую иногда считают имеющей концы, потому что на рисунке её линия ограничена краями листа. Так происходит, если изображение принимают за сам объект, а не за его часть. Проверьте себя: мысленно продолжите прямую в обе стороны — у неё не должно быть границ.

Отрезком называют только линию между двумя точками и забывают включить сами точки. Ошибка появляется из-за представления о концах как о внешних отметках. Проверьте обозначение: оба конца входят в отрезок и указываются его буквами.

Луч путают с прямой, потому что обе фигуры могут быть изображены длинной линией. Различие в том, что луч начинается в одной точке и идёт в одном направлении, а прямая не имеет начала и идёт в обе стороны. Найдите начальную точку и мысленно проверьте направления продолжения.

В обозначении угла вершину иногда ставят первой или последней, например записывают ∠OAB вместо угла с вершиной O. Причина — внимание сосредоточено на сторонах, а не на общей начальной точке. Проверьте себя: средняя буква должна совпадать с вершиной угла.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужны умение пользоваться линейкой, знание заглавных латинских букв и навык чтения простых чертежей. Точка, прямая и отрезок станут основой измерения длины, изучения взаимного расположения прямых и выполнения построений. Понятие угла понадобится при изучении его видов и величины, а также треугольников и других многоугольников.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.