"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Повторение помогает уверенно выполнять действия с натуральными числами и дробями, вычислять числовые выражения и решать уравнения. Нужно понимать положение чисел на координатной прямой, соблюдать порядок действий, приводить дроби к общему знаменателю и использовать свойства сложения и умножения. Любое преобразование следует выполнять аккуратно, а найденный корень уравнения — проверять подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — положительное целое число, используемое для счёта предметов: 1, 2, 3 и так далее. В некоторых записях к натуральным относят и 0, потому что он обозначает отсутствие предметов. Натуральные числа образуют ряд, в котором каждое следующее число на единицу больше предыдущего.
Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где a — числитель, а b — знаменатель. Числитель показывает, сколько равных частей взяли, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Дроби нужны, когда целое нельзя или неудобно выразить одним натуральным числом.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок, значение которой можно вычислить. Например, 12 − 3 · 2 — числовое выражение. Оно помогает записать несколько действий кратко и получить один результат.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого требуется найти. Найденное значение называют корнем уравнения, если после подстановки равенство становится верным. Уравнения позволяют находить неизвестные величины в вычислениях и задачах.
На координатной прямой числа располагаются по возрастанию слева направо. Чем правее точка, тем больше соответствующее ей число, потому что к началу отсчёта прибавлено больше единичных отрезков. Поэтому из двух чисел больше то, которое находится правее.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение имело единственный результат. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание; операции одного уровня идут слева направо. Скобки меняют обычную последовательность и показывают, какую часть выражения нужно выполнить раньше.
При сравнении дробей сначала смотрят на знаменатели: если они одинаковы, больше та дробь, у которой больше числитель. Для сложения и вычитания с разными знаменателями дроби приводят к общему знаменателю, чтобы сравнивать одинаковые доли. При умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении умножают первую дробь на дробь, обратную второй.
Свойства действий позволяют заменить длинное вычисление более удобным. Переместительное свойство меняет порядок слагаемых или множителей, а сочетательное — объединяет их в удобные группы. Распределительное свойство a · (b + c) = a · b + a · c помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель.
При решении уравнения выполняют только равносильные преобразования: прибавляют, вычитают, умножают или делят обе части на одно и то же допустимое число. Неизвестные обычно собирают в одной части, известные числа — в другой, после чего находят значение неизвестного. Подстановка корня в исходное уравнение подтверждает правильность решения.
Таблица показывает правило, короткий пример и способ самопроверки. Сначала определите вид действия, затем примените соответствующее правило и сравните результат с последним столбцом. Такая последовательность особенно полезна при самостоятельной работе.
| Объект или действие | Правило | Пример результата | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Сравнение чисел | На прямой большее число расположено правее; дроби с общим знаменателем сравнивают по числителям. | 7/9 > 5/9 | Одинаковы ли единицы и знаменатели. |
| Сложение и вычитание дробей | Привести дроби к общему знаменателю, выполнить действие с числителями. | 1/6 + 1/3 = 1/2 | Сокращён ли ответ и сохранён ли знаменатель. |
| Умножение и деление дробей | При умножении перемножить числители и знаменатели; при делении умножить на обратную дробь. | 2/3 : 4/5 = 5/6 | Не делили ли на ноль и сокращены ли дроби. |
| Порядок действий в выражении | Скобки, умножение и деление, сложение и вычитание. | 18 − 2 · 4 = 10 | Не выполнено ли сложение раньше умножения. |
| Раскрытие скобок | Распределить множитель; перед скобками со знаком минус изменить знаки всех слагаемых. | −(a − b) = −a + b | Учтён ли знак каждого слагаемого. |
| Решение линейного уравнения | Сохранить равносильность, собрать неизвестные и найти корень. | 2x + 3 = 9, x = 3 | Не потерян ли знак при переносе. |
| Проверка ответа | Подставить найденное значение в исходное равенство. | 2 · 3 + 3 = 9 | Совпали ли левая и правая части. |
Условие: вычислить значение выражения 18 − 2 · (5 + 3) и объяснить порядок действий. Нельзя начинать с вычитания, потому что умножение и скобки имеют более высокий приоритет.
Ответ: 2. Такой порядок сначала упрощает внутреннюю часть выражения, затем выполняет умножение и только потом вычитание.
Условие: вычислить 3/4 + 5/6 − 1/3. Знаменатели 4, 6 и 3 разные, поэтому сначала нужно найти общий знаменатель.
Ответ: 5/4, или 1 1/4. Общий знаменатель сохраняется, а изменяются только числители равных дробей.
Условие: решить уравнение 3(x − 2) + 5 = 2x + 9 и выполнить проверку. Сначала уберём скобки, чтобы собрать все слагаемые с неизвестным.
Ответ: x = 10. Левая и правая части совпали, значит, корень найден верно.
Ученик выполняет действия строго слева направо и не учитывает скобки, умножение и деление. Так происходит, когда правило порядка действий заменяют привычкой читать выражение по строке. Проверьте себя: отметьте скобки и расставьте действия по приоритету.
При сложении дробей иногда складывают и числители, и знаменатели. Ошибка появляется из-за смешения правил сложения и умножения дробей. Проверьте, что знаменатель общий, а действие выполнено только с приведёнными числителями.
При раскрытии скобок перед которыми стоит минус не меняют знаки всех слагаемых внутри. Обычно замечают первый знак, но забывают о следующих. Проверьте каждый знак отдельно: −(a − b + c) = −a + b − c.
Найденное значение неизвестного не проверяют подстановкой. Из-за этого ошибка в переносе или вычислении остаётся незамеченной. Подставьте ответ именно в исходное уравнение и сравните обе части.
До повторения нужно уверенно знать таблицу умножения, действия с целыми числами, дробями и скобками. Эти навыки образуют основу для дальнейших вычислений. Если одно правило забыто, новые преобразования будут даваться труднее.
Повторённые умения понадобятся при изучении отрицательных чисел, процентов, пропорций и алгебраических выражений. Например, проценты требуют действий с дробями, а пропорции связаны с равенствами. Понимание порядка действий помогает читать сложные формулы.
Те же способы применяются в текстовых задачах, при построении графиков и преобразовании формул. Сначала составляют выражение или уравнение, затем преобразуют его по правилам. В конце проверяют смысл ответа и соответствие единиц измерения условию.
Почему при сложении дробей нельзя складывать их знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, поэтому у складываемых дробей части должны быть одинаковыми. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают только числители.
Как понять, какое действие выполнять первым?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо.
Можно ли переносить слагаемое через знак равенства без изменения знака?
При переносе слагаемого в другую часть уравнения его знак меняется на противоположный. Это сокращённая запись прибавления или вычитания одного и того же числа из обеих частей.
Зачем нужна проверка решения уравнения?
Подстановка найденного значения показывает, стало ли равенство верным. Проверка помогает обнаружить ошибку при раскрытии скобок, переносе слагаемых или вычислениях.
Как выбрать удобный способ вычисления выражения?
Сначала ищут скобки, общие множители, удобные сочетания слагаемых и возможность применить свойства действий. Рациональный способ уменьшает количество вычислений и снижает вероятность ошибки.
Повторим!
