"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числовые выражения, уравнения и текстовые задачи помогают описывать вычисления и связи между величинами. Чтобы найти верный ответ, нужно соблюдать порядок действий, внимательно работать со скобками и правильно переносить условие задачи на математический язык. Результат полезно проверять: в выражении — пересчётом или обратным действием, в уравнении — подстановкой, а в задаче — сравнением ответа с условием и указанием единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 48 − 6 · 5 — числовое выражение, а его значение равно 18. Понятие нужно, чтобы записывать вычисления кратко и однозначно.
Порядок действий — правила, которые определяют, какие действия в выражении выполняют раньше. Если не соблюдать эти правила, одна и та же запись может привести к неверному результату. Порядок действий помогает всем получать одинаковое значение выражения.
Уравнение — равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначаемое буквой. Корнем уравнения называют такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Уравнения нужны, чтобы находить неизвестные величины по известной связи между ними.
Текстовая задача — описание ситуации, в которой по известным данным требуется найти неизвестную величину. В условии могут быть отношения между величинами: например, одна часть в несколько раз больше другой. Задача помогает применить вычисления и уравнения к практической ситуации.
Сначала выполняют действия в скобках, потому что скобки выделяют часть выражения, значение которой нужно определить прежде, чем использовать его дальше. После скобок выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Так, в выражении 20 − (3 + 2) · 4 сначала находят сумму в скобках, затем умножают результат на 4 и только потом вычитают его из 20. Соблюдение этого порядка делает запись однозначной.
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием. Внутри каждой такой группы действия выполняют слева направо, потому что перестановка может изменить результат: 20 − 5 + 2 = 15 + 2 = 17, а не 20 − 7. Точно так же 24 : 6 · 2 считают как 4 · 2 = 8. Если выполнить деление и умножение в другом порядке, получится 24 : 12 = 2, то есть значение изменится.
Проверка вычисления помогает обнаружить ошибку до того, как результат будет использован дальше. Можно повторить подсчёт, особенно внимательно проверив порядок действий, или применить обратное действие: например, вычитание проверить сложением. Если из 48 вычли 30 и получили 18, то проверка 18 + 30 = 48 подтверждает результат. При проверке важно убедиться не только в арифметике, но и в том, что действия были выбраны в правильной последовательности.
Чтобы составить уравнение по условию, сначала обозначают неизвестную величину буквой. Затем выражают через неё другие величины и записывают связь, данную в задаче; например, «в три раза больше» означает умножение на 3. Полученное равенство решают, выполняя одинаковые действия с обеими его частями, чтобы сохранить равенство. После этого найденное значение можно подставить обратно и проверить, выполняется ли условие уравнения.
Даже верное решение уравнения ещё нужно истолковать в контексте задачи. Найденное число проверяют по исходным данным: оно должно описывать нужную величину и не противоречить сказанному. Например, число предметов не может быть отрицательным, а части вместе должны давать указанное общее количество. В ответе указывают не только число, но и подходящую единицу измерения или название величины.
| Что рассматриваем | Как действовать | Как проверить |
|---|---|---|
| Выражение со скобками | Начать с действий внутри скобок, затем соблюдать приоритет действий. | Пересчитать по шагам, отдельно проверяя скобки и порядок действий. |
| Выражение без скобок | Сначала умножать и делить, затем складывать и вычитать; равноприоритетные действия выполнять слева направо. | Повторить вычисление или использовать обратное действие. |
| Уравнение | Найти неизвестное, выполняя одинаковые действия с обеими частями равенства. | Подставить найденное значение в исходное уравнение. |
| Текстовая задача | Обозначить неизвестное, составить уравнение по условию и решить его. | Проверить, что ответ подходит к ситуации, и записать единицу измерения. |
Сначала определите, с чем вы работаете: с выражением, уравнением или описанием ситуации. Затем выберите подходящий способ действий и проверку из таблицы. Такая последовательность помогает не смешивать вычисление значения выражения с поиском неизвестного.
Задача. Вычислите значение выражения 48 − 6 · 5. Здесь есть умножение и вычитание, поэтому нельзя начинать просто с первого действия слева. Сначала выполняем действие с более высоким приоритетом, а затем проверяем, что результат согласуется с исходным выражением.
Ответ: 18.
Задача. Решите уравнение 4x + 7 = 31 и проверьте ответ. Нужно оставить неизвестное x в одной части равенства, последовательно устранив сначала слагаемое 7, а затем множитель 4. Для сохранения равенства одинаковое действие выполняем с обеими частями.
Ответ: x = 6.
Задача. В двух коробках 36 карандашей. В одной коробке карандашей в 3 раза больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке? Удобно начать с меньшего количества: тогда большее выразится через него, и сумма двух количеств даст известное общее число.
Ответ: 9 карандашей и 27 карандашей.
Некоторые выполняют действия строго слева направо и в выражении 48 − 6 · 5 сначала вычитают. Так происходит, если помнить порядок записи, но забыть о приоритете умножения. Проверьте себя: сначала выделите скобки, затем умножение и деление, и только после этого сложение и вычитание.
Вычитание и деление иногда считают действиями, которые можно переставлять, как сложение и умножение. Но от перестановки меняется результат: 12 − 5 не равно 5 − 12, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Чтобы проверить себя, вычислите оба варианта на простых числах и не меняйте порядок без основания.
При решении уравнения ошибочно изменяют только одну его часть, например вычитают число из левой части, но не из правой. Такое преобразование нарушает равенство, хотя цель и состоит в том, чтобы его сохранить. Проверяйте каждый шаг: одно и то же действие должно быть выполнено с обеими частями.
Ответ задачи могут записать без проверки или без единицы измерения. Причина — внимание сосредоточено на вычислениях, а смысл найденного числа упускается. Сверьте ответ с каждым условием задачи и спросите себя, что именно найдено: количество предметов, длина или другая величина; затем запишите ответ с нужным названием или единицей.
Для повторения полезно освежить смысл арифметических действий, таблицу умножения и правила работы со скобками. Эти знания нужны, чтобы выполнять вычисления без пропусков и не путать значения знаков. Если базовые действия выполняются уверенно, легче сосредоточиться на условии более сложной задачи.
Вычисления и уравнения понадобятся при изучении дробей, пропорций и формул. Они также помогают решать задачи по другим предметам, где нужно выразить одну величину через другую или найти неизвестное значение. Умение переводить словесную связь в равенство становится основой математической модели.
Навык проверки важен и при работе с геометрическими величинами и математическими моделями. Проверка помогает заметить, если найденная длина, площадь или другое значение не подходит к условию. Так вычисления становятся не только способом получить ответ, но и способом убедиться в его смысле.
Почему в выражении 48 − 6 · 5 сначала выполняют умножение?
Умножение имеет более высокий приоритет, чем вычитание, поэтому сначала находят 6 · 5. Затем из 48 вычитают полученное число: 48 − 30 = 18.
Как понять, какое действие выполнить первым, если в выражении есть скобки?
Сначала выполняют действия внутри скобок, а если скобок несколько — начинают с внутренних. После этого умножают и делят, затем складывают и вычитают; действия одного приоритета выполняют слева направо.
Как проверить, правильно ли решено уравнение?
Подставьте найденное значение неизвестного в исходное уравнение и вычислите обе части. Если они равны, найденное число является корнем уравнения.
Как перевести условие текстовой задачи в уравнение?
Обозначьте неизвестную величину буквой, а затем выразите через неё остальные величины из условия. Запишите равенство, которое связывает данные и неизвестное, решите его и проверьте смысл результата.
Почему после решения задачи важно проверить ответ по условию?
Проверка показывает, подходит ли найденное число к ситуации, а не только к вычислениям. Например, количество предметов должно быть неотрицательным, а сумма частей — совпадать с общим количеством.
Повторим!
