Арифметические действия

Определения и обозначения

Арифметическое действие — способ получить из чисел новое число по определённому правилу. К основным действиям относят сложение, вычитание, умножение и деление. Они нужны, чтобы выполнять вычисления и переводить условие задачи на язык чисел.

Сложение — действие, при котором числа объединяют. Результат называют суммой, а складываемые числа — слагаемыми: 7 + 5 = 12, где 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Такое название помогает понимать роль каждого числа в записи.

Вычитание — действие, обратное сложению: по сумме и одному слагаемому находят другое. В записи 18 − 6 = 12 число 18 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, а 12 — разность. Вычитание показывает, сколько осталось или на сколько одно число отличается от другого.

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. В равенстве 4 · 6 = 24 числа 4 и 6 называют множителями, а 24 — произведением. Умножение удобно, когда одно и то же количество повторяется несколько раз.

Как это устроено

Сложение описывает объединение двух или нескольких количеств: если было 8 предметов и добавили ещё 3, стало 8 + 3. Вычитание описывает уменьшение количества или сравнение чисел: из имеющегося убирают часть либо находят, на сколько одно число больше другого. Эти действия обратны, потому что прибавление убранной части возвращает исходное количество: 11 − 3 = 8 и 8 + 3 = 11.

Умножение используют, когда одинаковое слагаемое повторяется. Например, 6 + 6 + 6 + 6 + 6 можно заменить записью 6 · 5, поэтому вместо пяти последовательных сложений достаточно одного умножения. Такая замена сокращает вычисления и особенно полезна при подсчёте одинаковых рядов, упаковок или групп.

Деление имеет два близких смысла. Если 20 предметов распределяют поровну между 4 детьми, находят количество предметов у каждого: 20 : 4 = 5; если из 20 предметов составляют группы по 4, находят число групп: 20 : 4 = 5. В обоих случаях деление связано с умножением, потому что 4 · 5 = 20: делитель умножают на частное и получают делимое.

Обратное действие позволяет проверить вычисление независимо от первоначального способа решения. Вычитание проверяют сложением, умножение — делением, а деление — умножением; например, после 45 : 9 = 5 проверяют равенство 5 · 9 = 45. Если равенство не получилось, значит, в вычислении или записи есть ошибка, которую можно исправить.

Ноль и единица имеют особую роль. Прибавление нуля не изменяет число: a + 0 = a; умножение на ноль даёт ноль: a · 0 = 0, а умножение на единицу сохраняет число: a · 1 = a. Ноль можно разделить на любое ненулевое число: 0 : a = 0 при a ≠ 0, но делить на ноль нельзя.

Арифметические действия и их компоненты

По таблице можно быстро определить название каждого числа и результата. Чтобы выполнить проверку, выберите действие из последнего столбца и восстановите исходное равенство.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 38 + 27 и проверьте результат вычитанием. Сначала найдём сумму, затем из неё вычтем одно из слагаемых, чтобы получить второе.

1. Складываем единицы: 8 + 7 = 15, записываем 5 единиц и 1 десяток.
2. Складываем десятки с учётом переноса: 3 + 2 + 1 = 6.
3. Получаем 38 + 27 = 65.
4. Проверяем: 65 − 27 = 38.

Ответ: 65. Проверка подтверждает результат, потому что после вычитания получилось первое слагаемое.

Задача 2. В коробках 6 рядов по 8 карандашей. Нужно узнать общее количество, то есть повторить число 8 шесть раз. Умножение заменяет такое сложение более короткой записью.

1. Записываем произведение: 8 · 6.
2. Вычисляем: 8 · 6 = 48.
3. При необходимости проверяем смысл сложением: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48.

Ответ: в коробках 48 карандашей.

Задача 3. 96 конфет разложили поровну в 8 пакетов. Требуется найти количество конфет в одном пакете, поэтому делим общее количество на число пакетов. Результат проверим умножением.

1. Составляем выражение: 96 : 8.
2. Находим частное: 96 : 8 = 12.
3. Проверяем: 12 · 8 = 96.

Ответ: в каждом пакете 12 конфет. Проверка показывает, что все 96 конфет распределены без остатка.

Типичные ошибки

Путать порядок чисел при вычитании. Ошибка возникает, когда считают, что 12 − 5 и 5 − 12 дают один результат, как при перемене мест слагаемых. Проверьте себя смыслом действия и выполните обратную проверку сложением.

Считать умножение заменой любого сложения. Умножением можно заменить только сумму одинаковых слагаемых, поэтому 4 + 4 + 4 = 4 · 3, а 4 + 5 так записать нельзя. Раскройте произведение повторным сложением и сравните с исходной суммой.

Делить на ноль. Так поступают, забывая, что результат деления должен при умножении на делитель давать делимое. На ноль делить нельзя, потому что любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Забывать проверку или выбирать её неверно. Иногда результат деления проверяют сложением, хотя нужно умножение; для 72 : 8 = 9 проверка имеет вид 9 · 8 = 72. Подбирайте обратное действие по таблице компонентов.

Связь с другими темами

До изучения действий нужно уметь считать предметы, сравнивать числа и понимать запись натуральных чисел. Это помогает правильно определить, что означает каждое число в условии.

Арифметические действия используются при решении текстовых задач, а также при вычислениях с дробями и десятичными числами. Правильный выбор действия связывает числовое выражение с описанной ситуацией.

Связи между действиями пригодятся при решении уравнений и проверке вычислений. Например, неизвестное слагаемое находят вычитанием, а неизвестный множитель — делением.

Что запомнить

• Сложение объединяет числа, а вычитание находит разность между ними.
• Вычитание — действие, обратное сложению.
• Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых.
• Деление связано с умножением и проверяется умножением.
• На ноль делить нельзя.
• Умножение на ноль даёт ноль, а умножение на единицу не меняет число.