"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия позволяют из известных чисел получать новые и решать задачи о количестве, цене, расстоянии и других величинах. У каждого действия есть свои компоненты, результат и правила. Сложение и умножение позволяют менять порядок чисел и группировать их, а вычитание и деление требуют учитывать порядок. Чтобы вычислять выражения без ошибок, нужно знать свойства действий, уметь проверять результат обратным действием и соблюдать порядок выполнения операций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметические действия — действия над числами, с помощью которых получают новое число. К ним относятся сложение, вычитание, умножение и деление. Они нужны, чтобы находить общее количество, остаток, число равных групп и другие величины. Знание названий действий помогает выбрать подходящий способ решения задачи.
Сложение — действие нахождения суммы; числа при сложении называются слагаемыми. Например, в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Сложение используют, когда объединяют количества или прибавляют часть к целому. Названия компонентов позволяют точно описать, что именно нужно найти.
Вычитание — действие нахождения разности; уменьшаемое, вычитаемое и разность нужно различать. В записи 14 − 6 = 8 число 14 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 8 — разность. Вычитание помогает узнать, сколько осталось, или на сколько одно число больше другого. Порядок компонентов подсказывает, какое количество уменьшают и какое убирают.
Умножение и деление — взаимно обратные действия; множители образуют произведение, а делимое, делитель и частное связаны отношением деления. В записи 4 · 3 = 12 числа 4 и 3 — множители, а 12 — произведение; в записи 12 : 3 = 4 числа 12, 3 и 4 — делимое, делитель и частное. Умножение удобно для равных групп, а деление — чтобы распределить количество или узнать число групп. Эти названия помогают составлять выражения и проверять результат.
Компоненты действия можно определить по его названию и знаку: вокруг знака стоят числа, над которыми выполняется действие, а результат находится после знака равенства. Например, в 9 · 2 = 18 числа 9 и 2 — множители, 18 — произведение. Названия показывают роль каждого числа, а не только его место в записи. Это особенно полезно в текстовой задаче: по вопросу можно понять, какой компонент требуется найти.
При сложении перестановка слагаемых не меняет сумму: 4 + 9 = 9 + 4. То же верно для множителей, потому что число равных групп и количество предметов в каждой группе можно поменять местами: 4 · 9 = 9 · 4. При вычитании числа выполняют разные роли: из уменьшаемого убирают вычитаемое. При делении делимое распределяют на части, размер которых задаёт делитель, поэтому смена порядка обычно меняет результат.
Вычитание связано со сложением: если из 15 вычесть 7 и получить 8, то сложение 8 + 7 вернёт исходное число 15. Значит, сложение помогает проверить вычитание и найти неизвестный компонент. Деление связано с умножением: если 20 : 5 = 4, то 4 · 5 = 20. Проверка обратным действием полезна потому, что позволяет убедиться в результате другим вычислением, а не повторить то же самое.
Умножение на натуральное число можно понимать как сложение одинаковых слагаемых: 3 · 5 = 5 + 5 + 5. Такая запись помогает увидеть, почему умножение удобно для подсчёта нескольких одинаковых групп. Деление можно понимать как распределение поровну: 12 конфет на 3 детей — это по 4 конфеты каждому. Другой смысл деления — выяснить, сколько групп заданного размера получится: из 12 конфет можно составить 4 группы по 3.
Порядок вычислений нужен, чтобы одно и то же выражение все понимали одинаково. Сначала выполняют действия в скобках, потому что они выделяют часть выражения, которую нужно посчитать отдельно. Затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание; внутри каждой пары действия идут слева направо. Поэтому выражение 20 − 3 · 4 считают как 20 − 12, а не как (20 − 3) · 4.
| Характеристика | Сложение | Вычитание | Умножение | Деление |
|---|---|---|---|---|
| Компоненты действия | Слагаемые | Уменьшаемое, вычитаемое | Множители | Делимое, делитель |
| Результат действия | Сумма | Разность | Произведение | Частное |
| Обратное действие | Вычитание | Сложение | Деление | Умножение |
| Переместительное свойство | a + b = b + a | Нет | a · b = b · a | Нет |
| Сочетательное свойство | (a + b) + c = a + (b + c) | Нет | (a · b) · c = a · (b · c) | Нет |
| Особые случаи с нулём и единицей | a + 0 = a | a − 0 = a; a − a = 0 | a · 0 = 0; a · 1 = a | 0 : a = 0 при a ≠ 0; a : 1 = a |
| Ограничения при выполнении | Для натуральных чисел сумма натуральна | В натуральных числах вычитаемое не больше уменьшаемого | Для натуральных чисел произведение натурально | Делитель не равен нулю; частное может быть не натуральным |
| Порядок выполнения в выражении | После умножения и деления; слева направо | После умножения и деления; слева направо | До сложения и вычитания; слева направо | До сложения и вычитания; слева направо |
Сначала найдите в таблице строку с нужной характеристикой, а затем сравните соответствующие действия. Буквы a, b и c обозначают числа, для которых записаны общие правила. Особые случаи и ограничения проверяйте отдельно: например, деление на ноль не разрешено.
Вычислите: 348 + 275 − 126. Здесь есть сложение и вычитание, которые имеют одинаковый приоритет, поэтому считаем слева направо. Сначала найдём сумму, затем из неё вычтем 126. Проверим ответ обратным действием, восстановив промежуточное значение.
Ответ: 497. Проверка совпала с суммой на предыдущем шаге. При вычислении в столбик числа нужно записывать так, чтобы единицы, десятки и сотни стояли друг под другом. Это помогает не перепутать разряды при сложении и вычитании.
Вычислите: 72 − 4 · (15 − 9) : 3. Скобки указывают на действие, которое выполняется первым. После скобок умножение и деление имеют одинаковый приоритет, значит, их выполняют слева направо. Только затем можно вычитать полученное значение из 72.
Ответ: 64. Если бы начать с 72 − 4, получилось бы другое число: это означало бы, что нарушен порядок действий. Запись промежуточных шагов помогает заметить, что сначала учтены скобки, а затем умножение и деление. Проверка подтверждает, что вычитание выполнено правильно.
В библиотеку привезли 6 коробок по 24 книги. После выдачи 37 книг оставшееся количество поровну разложили на 5 полок. Сколько книг оказалось на каждой полке? Сначала найдём общее число привезённых книг: одинаковое количество в каждой коробке подсказывает умножение. Затем вычтем выданные книги и разделим остаток поровну между полками. Выражение для решения: (6 · 24 − 37) : 5.
Ответ: условие противоречиво: на каждой полке не может оказаться одинаковое целое число книг. Остаток 2 показывает, что 107 книг нельзя разложить поровну на 5 полок без остатка. Значит, обещанная в условии проверка деления без остатка не проходит. Если подразумевается целое число книг на каждой полке, в условии есть ошибка или недостаёт уточнения.
Числа при сложении или вычитании иногда записывают не по разрядам: единицы оказываются под десятками. Так бывает, если ориентироваться на край записи, а не на значение цифр. Записывайте единицы под единицами, десятки под десятками и проверяйте промежуточный результат обратным действием. В сложении в столбик отдельно следите за переносом единицы в следующий разряд.
Переместительное свойство иногда ошибочно применяют к вычитанию или делению. У этих действий компоненты выполняют разные роли, поэтому, например, 12 − 5 не равно 5 − 12, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Чтобы проверить себя, поменяйте числа в записи и вычислите оба результата. Если они различаются, перестановка недопустима.
В длинном выражении можно начать считать слева направо и пропустить скобки или умножение с делением. Это случается, когда знаки читают как обычный текст, не учитывая их приоритет. Перед вычислением отметьте скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. После каждого шага сверяйте, что выбранная операция действительно должна выполняться следующей.
Деление на ноль не определено, но иногда ноль ошибочно считают допустимым делителем или полагают, что любое деление с нулём даёт ноль. Ноль может стоять в делимом: 0 : 5 = 0, но запись 5 : 0 не имеет смысла. Проверяйте делитель до вычисления: он не должен быть нулём. Помните, что умножение частного на делитель должно возвращать делимое, а умножением на ноль ненулевое число получить нельзя.
Для работы с арифметическими действиями нужно знать натуральные числа, разрядный состав числа и таблицу умножения. Понимание разрядов помогает правильно записывать вычисления, а таблица ускоряет умножение и деление. Эти действия понадобятся при работе с числовыми выражениями, величинами и текстовыми задачами. Позже те же правила и способы вычисления применяются при изучении дробей, отрицательных чисел, степеней и алгебраических выражений.
Почему при сложении можно менять числа местами, а при вычитании нельзя?
При сложении перестановка чисел не меняет общую сумму: 8 + 3 = 3 + 8. При вычитании первое число показывает, откуда убирают, поэтому 8 − 3 не равно 3 − 8.
Как быстро проверить результат вычитания или деления?
Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают с делимым.
Что делать первым в длинном числовом выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, после них сложение и вычитание; действия одного приоритета выполняют слева направо.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление ищет число, которое при умножении на делитель даст делимое. Умножение любого числа на ноль даёт ноль, поэтому нельзя получить таким способом ненулевое число и определить частное при делении на ноль.
Можно ли всегда заменить умножение многократным сложением?
Для натурального множителя это удобно: например, 4 · 6 означает взять число 6 четыре раза, то есть 6 + 6 + 6 + 6. Но для дробных или отрицательных множителей такое толкование не всегда подходит, поэтому умножение шире многократного сложения.
Арифметические действия
