Арифметические действия

Определения и обозначения

Сложение — арифметическое действие, при котором два числа объединяют, чтобы узнать их общее количество или величину. Результат сложения называется суммой: в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Сложение помогает находить итог, например общее число предметов в двух группах. Знак действия — «+».

Вычитание — действие, с помощью которого по известным сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. В записи 12 − 5 = 7 число 12 называют уменьшаемым, 5 — вычитаемым, а 7 — разностью. Вычитание нужно, чтобы узнать, сколько осталось или на сколько одна величина больше другой. Знак действия — «−».

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 означает сумму 4 + 4 + 4, равную 12; числа 4 и 3 — множители, а 12 — произведение. Умножение удобно, когда несколько равных групп считают вместе. Для него используют знаки «·» или «×».

Деление — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой. В записи 12 : 3 = 4 число 12 — делимое, 3 — делитель, 4 — частное. Деление позволяет распределить количество поровну или выяснить, сколько раз одна величина содержится в другой. На ноль делить нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое.

Как это устроено

Сложение и умножение обладают переместительным свойством: от перестановки слагаемых или множителей результат не меняется. Поэтому 8 + 2 можно заменить на 2 + 8, а 5 · 7 — на 7 · 5, если так считать удобнее. Эти действия также обладают сочетательным свойством: при сложении или умножении нескольких чисел можно менять группировку. Например, в выражении 25 · 4 · 3 удобно сначала перемножить 25 и 4, потому что получается 100.

Вычитание и деление переместительными не являются: 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Нельзя и произвольно менять группировку: (20 − 8) − 2 даёт 10, а 20 − (8 − 2) даёт 14. Причина в том, что каждое из этих действий зависит от того, какое число стоит первым и какое — следующим. Поэтому порядок записи при вычитании и делении сохраняют.

Умножение связано со сложением распределительным свойством: a · (b + c) = a · b + a · c. Скобки можно раскрыть, умножив число перед ними на каждое слагаемое внутри; это иногда упрощает счёт. Например, 6 · 19 можно вычислить как 6 · (20 − 1), то есть 120 − 6. То же правило действует при вычитании: a · (b − c) = a · b − a · c, если выражение имеет смысл.

Если в выражении есть скобки, сначала вычисляют то, что находится внутри них. Затем выполняют умножение и деление, двигаясь слева направо, и только после этого — сложение и вычитание, тоже слева направо. Такой порядок нужен, чтобы запись имела однозначный результат: выражение 3 + 4 · 2 равно 11, потому что сначала находят 4 · 2. Скобки позволяют изменить обычный порядок, например (3 + 4) · 2 равно 14.

Деление иногда выполняют с остатком. Тогда делимое раскладывают на произведение делителя и неполного частного, к которому прибавлен остаток: 17 : 5 = 3 (ост. 2), потому что 17 = 5 · 3 + 2. Остаток всегда меньше делителя: если бы он был не меньше, из него можно было бы выделить ещё одну полную группу. Это равенство позволяет проверить деление и убедиться, что найденные частное и остаток подходят.

Свойства арифметических действий

Свойства помогают заменить сложное вычисление более удобным, не меняя его результата. Сначала определите, какое действие записано, затем выберите подходящее свойство и проверьте равенство на простом примере. Помните, что переместительное и сочетательное свойства нельзя применять к вычитанию и делению.

Разбор задач

Задача. В школьную библиотеку привезли 8 коробок книг, по 24 книги в каждой. После этого 37 книг выдали ученикам. Сколько книг осталось, если до привоза в библиотеке было 156 книг? Нужно сначала найти количество привезённых книг, затем прибавить его к прежнему запасу и вычесть выданные книги. Порядок действий следует из смысла условия: выдать можно из общего количества после поступления.

1. Найдём, сколько книг привезли. В каждой из 8 коробок по 24 книги, значит, одинаковое число нужно сложить 8 раз, или выполнить умножение: 24 · 8 = 192 книги. Проверим вычисление: 20 · 8 = 160, 4 · 8 = 32, всего 160 + 32 = 192.

2. Вычислим, сколько книг стало после привоза. К прежним 156 книгам прибавим 192: 156 + 192 = 348. Для проверки сложения вычтем одно слагаемое из суммы: 348 − 192 = 156, значит, сложили верно.

3. Вычтем выданные ученикам 37 книг: 348 − 37 = 311. Можно проверить вычитание обратным действием: 311 + 37 = 348. Ответ должен быть меньше 348, потому что книги выдали, и число 311 этому условию соответствует.

Ответ: в библиотеке осталось 311 книг. В решении важно не только правильно вычислить, но и связать каждое действие с этапом задачи: умножение находит привезённые книги, сложение — общий запас, вычитание — остаток. Если бы коробки содержали разное число книг, умножение на 8 не подошло бы: пришлось бы сложить количества из каждой коробки. Проверка обратным действием помогает обнаружить вычислительную ошибку, но также стоит оценить, разумен ли результат по условию.

Типичные ошибки

• Меняют местами числа при вычитании или делении. Иногда ученик считает, что порядок не важен, потому что это верно для сложения и умножения. Но 15 − 9 и 9 − 15, как и 18 : 3 и 3 : 18, дают разные результаты. Проверяйте, соответствует ли порядок чисел условию, и подставляйте ответ в обратное действие.

• Выполняют действия только слева направо. Так поступают, если забывают, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Например, в 5 + 3 · 4 сначала считают произведение, а не сумму. Отметьте действия по очереди: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание; внутри равного приоритета двигайтесь слева направо.

• Раскрывают скобки неверно. При умножении суммы на число могут умножить только первое слагаемое, хотя множитель относится ко всей сумме. Например, 3 · (5 + 2) — это 3 · 5 + 3 · 2, а не 15 + 2. Проверьте раскрытие, вычислив исходное выражение и полученное отдельно: результаты должны совпасть.

• Делят на ноль или получают слишком большой остаток. Такие ошибки возникают, когда механически применяют алгоритм и не проверяют смысл результата. Деление на ноль не определено, а остаток при делении должен быть меньше делителя. Для проверки используйте равенство «делимое = делитель · частное + остаток».

Связь с другими темами

Арифметические действия нужны при работе с дробями и десятичными числами: правила действий остаются знакомыми, но вычисления требуют учитывать знаменатели, запятые и разряды. В уравнениях сложение, вычитание, умножение и деление помогают находить неизвестное число с помощью обратных действий. При решении текстовых задач действия переводят описание ситуации на язык чисел и выражений. Свойства действий также упрощают вычисления с величинами, процентами и отношениями.

Что запомнить

• Сложение, вычитание, умножение и деление отвечают на разные вопросы и имеют свои названия компонентов.

• Сложение и умножение можно переставлять и группировать; вычитание и деление требуют сохранять порядок чисел.

• Умножение распределяется относительно сложения и вычитания.

• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание.

• Деление проверяют умножением, вычитание — сложением; делить на ноль нельзя.