Арифметические действия

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором числа объединяют; его результат называют суммой, а числа — слагаемыми. Запись 6 + 4 = 10 показывает, что к шести прибавили четыре. Названия помогают понять роль каждого числа и описать вычисление словами.

Вычитание — действие, обратное сложению: уменьшаемое уменьшают на вычитаемое и получают разность. В записи 10 − 4 = 6 число 10 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 6 — разность. Эти названия позволяют не путать числа, когда нужно найти, сколько осталось или насколько одно число больше другого.

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; числа называют множителями, результат — произведением. Например, 3 · 4 означает 3 + 3 + 3 + 3 и равно 12. Умножение удобно, когда одно и то же количество повторяется несколько раз.

Деление — действие, при котором делимое распределяют на равные части; результат называют частным, а второе число — делителем. В записи 12 : 3 = 4 число 12 делят на 3 равные части или выясняют, сколько троек содержится в 12. Делить на ноль нельзя: такого действия не определяют.

Как это устроено

Названия компонентов показывают, какую роль играет каждое число. В сумме слагаемые соединяют, а результат — сумма — сообщает общее количество; в разности вычитаемое показывает, сколько убрали из уменьшаемого. Умножение объединяет равные группы, поэтому его компоненты называют множителями, а результат — произведением. При делении известное целое, делимое, распределяют или разбивают на группы, заданные делителем, и получают частное.

Вычитание обратное сложению, потому что оно позволяет восстановить исходное число: если a + b = c, то c − b = a. Например, из 8 + 5 = 13 следует 13 − 5 = 8. Деление обратное умножению: если a · b = c, то c : b = a при b ≠ 0. Поэтому умножением проверяют деление, а сложением — вычитание.

Знак результата зависит от знаков чисел. При сложении чисел одного знака складывают их модули и сохраняют этот знак; при разных знаках вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем. Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: например, 5 − (−2) = 5 + 2. При умножении и делении одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус; модуль результата находят отдельно.

Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала считают в скобках: они выделяют часть выражения, значение которой нужно использовать целиком. Затем выполняют умножение и деление, потому что эти действия связывают числа теснее, чем сложение и вычитание. Последними считают сложение и вычитание; действия одной ступени выполняют слева направо.

Переместительное свойство сложения позволяет менять слагаемые местами: a + b = b + a, а сочетательное — объединять их по-разному: (a + b) + c = a + (b + c). Для умножения действуют аналогичные свойства. Благодаря им удобно группировать числа и упрощать вычисления. Вычитание и деление таких свойств не имеют: например, 9 − 4 не равно 4 − 9, поэтому порядок их компонентов сохраняют.

Арифметические действия и их основные характеристики

В таблице собраны обозначения, названия компонентов и основные правила действий. Сверяйся с ней, когда нужно выбрать способ вычисления или проверить, допустимо ли действие. В строке о свойствах указаны правила, которые можно применять для упрощения выражений.

Разбор задач

Вычислим 48 + 27 − 15. Здесь сложение и вычитание имеют одинаковую ступень, поэтому важно идти по записи слева направо. Сначала объединим первые два числа, затем вычтем 15 из полученного результата. Такой порядок сохраняет смысл исходного выражения.

1. Выполняем первое действие: 48 + 27 = 75.
2. Вычитаем 15 из 75: 75 − 15 = 60.

Ответ: 60. Проверим результат обратным порядком действий: к 60 прибавим 15 и получим 75, затем из 75 вычтем 27 и получим 48. Исходное число восстановилось, значит вычисление согласуется с обратными действиями.

Вычислим (3/4) · (8/9) + 1/3. По порядку действий сначала выполняем умножение дробей, а сложение оставляем на потом. При умножении дробей перемножают числители и знаменатели, но перед этим можно сократить общие множители. Для сложения дробей понадобятся одинаковые знаменатели.

1. Сокращаем 3 и 9 на 3, а 8 и 4 на 4: (3/4) · (8/9) = (1/1) · (2/3) = 2/3.
2. Приводим дроби 2/3 и 1/3 к общему знаменателю; он уже равен 3.
3. Складываем числители: 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1.

Ответ: 1. Сокращение до умножения уменьшило числа, но не изменило значение произведения. Проверяем, что сначала было выполнено действие в скобках, а затем сложение.

Вычислим −18 : 3 · (−2) + 5 · (7 − 10). Сначала считаем выражение в скобках, затем деление и умножение слева направо, после этого складываем. Отдельно следим за знаками: при делении и умножении числа разных знаков дают отрицательный результат, одинаковых — положительный.

1. Считаем в скобках: 7 − 10 = −3.
2. Делим слева направо: −18 : 3 = −6, затем −6 · (−2) = 12.
3. Выполняем второе умножение: 5 · (−3) = −15.
4. Складываем результаты: 12 + (−15) = −3.

Ответ: −3. Чтобы проверить знаки, можно представить последнюю сумму как 12 − 15: модуль отрицательного слагаемого больше, поэтому результат отрицательный. Деление на ноль нигде не выполнялось.

Типичные ошибки

При сложении чисел разных знаков нельзя просто складывать их модули и выбирать знак наугад. Так ошибаются, перенося правило сложения натуральных чисел на отрицательные числа. Нужно сравнить модули, вычесть меньший из большего и поставить знак числа с большим модулем. Например, −8 + 3 = −5, потому что модуль 8 больше модуля 3.

Перестановка уменьшаемого с вычитаемым или делимого с делителем меняет результат. Ошибка возникает, когда свойства сложения и умножения переносят на вычитание и деление. Проверяй выражение обратным действием и сохраняй порядок чисел: 12 : 3 = 4, но 3 : 12 = ¼. Удобно мысленно подставить оба варианта и сравнить ответы.

Если в выражении есть умножение и сложение, нельзя автоматически выполнять все действия слева направо. Такой способ кажется естественным, потому что выражение читают как обычную строку, но он нарушает установленный порядок действий. Сначала выполняй умножение и деление, потом сложение и вычитание; скобки считай раньше остальных действий. Для проверки отметь над знаками очередность вычислений.

Деление числа на ноль не имеет смысла, а ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю. Ошибка появляется, если не различать эти случаи или считать, что любой ноль в частном делает ответ нулём. Перед делением проверь делитель: он не должен быть равен нулю. Результат 0 : 5 = 0 можно проверить умножением, а для 5 : 0 проверка не работает.

Связь с другими темами

Для работы с арифметическими действиями нужны знания о натуральных, целых и дробных числах, числовой прямой и сравнении чисел. Эти правила применяются при преобразовании числовых и буквенных выражений: буквы обозначают числа, поэтому над ними выполняют знакомые действия. Умение правильно считать нужно при решении уравнений и задач на проценты, пропорции и величины. Оно также помогает подставлять значения в формулы и вычислять результат.

Что запомнить

• Сложение и умножение можно выполнять с перестановкой и группировкой компонентов.
• Вычитание обратно сложению, а деление обратно умножению.
• На ноль делить нельзя.
• В произведении или частном одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
• При действиях одной ступени вычисляют слева направо.
• Результат действия нужно проверять обратным действием.