Вычитание двузначных чисел

Определения и обозначения

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; вычитаемое — число, которое вычитают; разность — результат вычитания. Например, в записи 57 − 23 = 34 число 57 — уменьшаемое, 23 — вычитаемое, а 34 — разность. Эти названия помогают понять, какое число в примере нужно найти и как проверить вычисление.

Вычитание двузначных чисел — нахождение разности двух чисел, каждое из которых содержит десятки и единицы. Например, при вычислении 57 − 23 мы сравниваем два количества, записанных двузначными числами. Понимание смысла действия помогает не путать вычитание с перестановкой чисел и выбирать его для задач, где что-то убрали или сравнивают.

Разрядный состав двузначного числа — количество десятков и единиц, из которых оно состоит. Число 57 содержит 5 десятков и 7 единиц, то есть его можно представить как 50 + 7. Такое представление нужно, чтобы вычитать разряды по отдельности и видеть, когда для вычисления единиц потребуется размен.

Размен десятка — замена одного десятка на десять единиц, когда единиц уменьшаемого не хватает для вычитания. Например, 52 можно представить как 4 десятка и 12 единиц, не изменив самого числа. Размен позволяет выполнить вычитание единиц, сохраняя значение уменьшаемого.

Как это устроено

Двузначное число удобно представить суммой десятков и единиц: например, 68 — это 60 + 8. В записи числа каждая цифра показывает количество единиц своего разряда, поэтому цифры нельзя считать просто отдельными числами. Если вычитать десятки из десятков, а единицы из единиц, мы сохраняем их значения и не смешиваем разные разряды. Такой способ называется вычитанием поразрядно.

Когда цифра единиц уменьшаемого не меньше цифры единиц вычитаемого, сначала находят разность единиц, а потом — десятков. Например, в 57 − 23 можно вычислить 7 − 3 и 5 десятков − 2 десятка. Отдельные результаты относятся к разным разрядам, поэтому их записывают на соответствующих местах: получается 34. Разрядный способ помогает не потерять десятки и единицы при вычислении.

Если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого, непосредственно вычесть их нельзя: например, из 2 единиц нельзя вычесть 7 единиц в пределах натуральных чисел. Тогда один десяток уменьшаемого заменяют десятью единицами. Так появляется достаточно единиц для вычитания, а вместо прежнего числа десятков остаётся на один меньше. Этот обмен и называют разменом десятка.

Размен не меняет уменьшаемое, потому что один десяток равен десяти единицам. В числе 52 можно заменить один десяток: получится 4 десятка и 12 единиц, а всего по-прежнему 52. Поэтому после вычисления единиц десятки вычитают уже из уменьшенного количества десятков. Если забыть уменьшить его на один, в ответе окажется лишний десяток.

Проверить вычитание можно сложением: к разности прибавляют вычитаемое и сравнивают результат с уменьшаемым. Это работает потому, что вычитание и сложение — обратные действия: если из числа убрали часть, то прибавление этой части восстанавливает исходное число. Например, если получилось 25 при вычитании 53 − 28, проверяем: 25 + 28 = 53. Совпадение с уменьшаемым подтверждает ответ.

Случаи вычитания двузначных чисел

Сначала определи, хватает ли единиц уменьшаемого: от этого зависит, понадобится ли размен десятка. При записи столбиком проверь, что цифры стоят в одинаковых разрядах. Затем вычисляй единицы и десятки и, если нужно, выполни проверку сложением.

Разбор задач

Вычислить: 68 − 24

Вычитаемое содержит 2 десятка и 4 единицы, уменьшаемое — 6 десятков и 8 единиц. Единиц уменьшаемого хватает, поэтому десяток разменивать не нужно. Выполним вычитание по разрядам.

1. Вычтем единицы: 8 − 4 = 4. В ответе на месте единиц запишем 4.
2. Вычтем десятки: 6 десятков − 2 десятка = 4 десятка. Запишем 4 в разряде десятков.
3. Соединим результаты разрядов: получим 44. Ответ: 68 − 24 = 44.

Вычислить: 53 − 28

Уменьшаемое содержит 5 десятков и 3 единицы, а вычитаемое — 2 десятка и 8 единиц. Трёх единиц недостаточно, чтобы вычесть 8, поэтому сначала разменяем один десяток. После этого выполним вычитание единиц и десятков.

1. Представим 53 как 4 десятка и 13 единиц: один из пяти десятков заменили десятью единицами.
2. Вычтем единицы: 13 − 8 = 5. В разряде десятков осталось 4 десятка.
3. Вычтем десятки: 4 − 2 = 2. Запишем 2 десятка и 5 единиц. Ответ: 53 − 28 = 25.

Задача про наклейки

У Маши было 72 наклейки, 35 она подарила. Нужно узнать, сколько наклеек осталось, значит, из начального количества вычтем подаренное. Запишем числа столбиком, расположив единицы под единицами, а десятки под десятками. Затем проверим ответ сложением.

1. Запишем вычитание: 72 − 35. Единиц не хватает, потому что из 2 единиц нельзя вычесть 5 единиц.
2. Разменяем один десяток: 72 — это 6 десятков и 12 единиц. Вычтем единицы: 12 − 5 = 7.
3. Вычтем десятки: 6 − 3 = 3. Получаем 37 наклеек. Проверка: 37 + 35 = 72, значит, ответ подходит.

Ответ: у Маши осталось 37 наклеек.

Типичные ошибки

Иногда в каждом разряде вычитают меньшую цифру из большей, не обращая внимания на порядок чисел. Например, в 53 − 28 нельзя заменить 3 − 8 на 8 − 3: это меняет смысл вычитания и даёт неверное число. Так ошибаются, если воспринимают цифры отдельно, а не как части уменьшаемого и вычитаемого. Проверка сложением покажет ошибку: разность плюс 28 не даст 53.

После размена десятка можно забыть уменьшить число десятков на один. Тогда к единицам добавляют десять, но в разряде десятков оставляют прежнее количество, и значение уменьшаемого становится больше. Причина ошибки — внимание только к единицам. Для самопроверки запиши новое разложение: например, 52 должно стать 4 десятка и 12 единиц, а не 5 десятков и 12 единиц.

Запись десятков под единицами или начало вычисления с десятков нарушает соответствие разрядов. Обычно это происходит, если числа при записи столбиком не выровнены по правому краю или ученик забывает, что размен нужен именно при вычитании единиц. Проверь, что единицы стоят в одном столбце, а десятки — в другом. При вычислении столбиком начинай с единиц, а затем переходи к десяткам.

Если не выполнить проверку или сложить разность не с тем числом, ошибка может остаться незамеченной. Проверять нужно именно обратным действием: к разности прибавить вычитаемое, а не уменьшаемое. Например, для 53 − 28 к ответу прибавляют 28 и ждут получить 53. Если получилось другое число, нужно заново проверить размен и вычитание по разрядам.

Связь с другими темами

Для вычитания двузначных чисел нужны нумерация в пределах 100, понимание состава числа и знание таблицы сложения и вычитания однозначных чисел. Тема опирается на умение складывать десятки и единицы: это помогает представить число по разрядам и понять размен десятка. Запись столбиком готовит к письменным вычислениям с многозначными числами. Навык понадобится в текстовых задачах, денежных расчётах и при сложении и вычитании больших чисел.

Что запомнить

• При вычитании двузначных чисел сначала работают с единицами, затем с десятками.
• Единицы записывают под единицами, а десятки — под десятками.
• Если единиц недостаточно, один десяток заменяют десятью единицами.
• После размена число десятков уменьшается на один.
• Разность можно проверить сложением разности и вычитаемого.
• Вычитание — действие, обратное сложению.