Вычитание чисел

Определения и обозначения

Вычитание — действие, с помощью которого по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Например, если 8 + x = 13, то x = 13 − 8 = 5. Это определение связывает вычитание со сложением и помогает решать уравнения.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи 17 − 6 число 17 является уменьшаемым. Оно показывает исходное количество, от которого отделяют часть, поэтому обычно стоит первым.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В выражении 17 − 6 вычитаемое равно 6. Оно показывает, сколько единиц убирают или на сколько уменьшают исходное число.

Разность — результат вычитания и выражение, записанное с помощью знака «−». В записи 17 − 6 = 11 выражение 17 − 6 и число 11 связаны одним названием: первое является разностью-выражением, второе — её значением. По разности можно узнать, сколько осталось или насколько числа отличаются.

Как это устроено

Запись a − b означает: нужно найти такое число x, чтобы b + x = a. Поэтому вычитание фактически возвращает неизвестное слагаемое: если 9 + x = 14, то x = 14 − 9 = 5. Такой смысл помогает решать уравнения и понимать, почему результатом 14 − 9 является именно 5.

На координатной прямой сложение положительного числа ведёт вправо, а вычитание — влево. Чтобы выполнить a − b, начинают в точке a и перемещаются на b единичных отрезков влево, потому что каждое такое перемещение уменьшает координату на единицу. Например, из точки 6 при вычитании 4 приходят в точку 2.

Вычитание проверяют обратным действием — сложением. К найденной разности прибавляют вычитаемое: если при вычислении a − b получено c, то должно выполняться c + b = a. Сложение удобно для проверки, потому что оно восстанавливает исходное уменьшаемое.

Изменение одного компонента меняет разность предсказуемо. Если увеличить уменьшаемое на несколько единиц, разность увеличится на столько же, а если увеличить вычитаемое, разность уменьшится на столько же. При уменьшении уменьшаемого разность уменьшается, а при уменьшении вычитаемого — увеличивается.

Вычитание заменяют сложением противоположного числа по правилу a − b = a + (−b). Поэтому скобки раскрываются так: a − (+b) = a − b, а a − (−b) = a + b. Знак перед скобками меняет знак числа внутри, поскольку отнять число означает прибавить число с противоположным знаком.

Основные сведения о вычитании чисел

Таблица помогает быстро найти нужное правило и применить его к примеру. Сначала определите, какие числа являются компонентами действия, затем выберите подходящую строку. Для отрицательных чисел сначала замените вычитание сложением противоположного числа.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 704 − 268 и выполнить проверку

Вычитаем числа письменно, начиная с единиц. В разряде единиц 4 меньше 8, поэтому потребуется переход через разряд. После вычисления проверим ответ сложением.

1. Из разряда десятков занимаем 1 десяток: 14 − 8 = 6. В разряде десятков остаётся 9.
2. Вычитаем десятки: 9 − 6 = 3. Сотен пока 7.
3. Вычитаем сотни: 7 − 2 = 5. Получаем 704 − 268 = 536.
4. Проверяем: 536 + 268 = 804? Такое равенство неверно, значит при записи произошла ошибка в разрядах. Правильно: после займа из 704 число превращается в 6 сотен, 9 десятков и 14 единиц, поэтому 14 − 8 = 6, 9 − 6 = 3, 6 − 2 = 4.

Итак, 704 − 268 = 436. Проверка: 436 + 268 = 704, следовательно, результат верен.

Задача 2. Вычислить −7 − (−12) + 3 − 8

Сначала устраним вычитание и скобки, чтобы не перепутать знаки. Затем сгруппируем положительные и отрицательные числа и найдём их сумму.

1. −7 − (−12) + 3 − 8 = −7 + 12 + 3 + (−8).
2. Собираем положительные числа: 12 + 3 = 15. Отрицательные: −7 + (−8) = −15.
3. Складываем полученные результаты: 15 + (−15) = 0.

Ответ: 0. Основной шаг — замена вычитания прибавлением противоположного числа, особенно в выражении с отрицательным вычитаемым.

Задача 3. Решить уравнение 5,6 − x = 2,9

Здесь неизвестно вычитаемое. Используем смысл вычитания: если из 5,6 вычли x и получили 2,9, то x должен дополнить 2,9 до 5,6.

1. Переносим задачу к сложению: 2,9 + x = 5,6.
2. Находим неизвестное слагаемое: x = 5,6 − 2,9 = 2,7.
3. Проверяем подстановкой: 5,6 − 2,7 = 2,9.

Ответ: x = 2,7. Проверка совпала с правой частью уравнения, поэтому решение верно.

Типичные ошибки

Ученики путают уменьшаемое и вычитаемое, потому что запоминают только порядок чисел. На самом деле уменьшаемое — это число, из которого вычитают, а вычитаемое — то, которое убирают. Проверьте себя вопросом: «Из какого числа выполняется действие?»

При письменном вычитании иногда занимают единицу у соседнего разряда, но забывают уменьшить его на 1. Ошибка особенно часто возникает при переходе через нули. После займа перечитайте разряды: полученный разряд увеличился на 10 единиц, а соседний слева уменьшился на единицу.

При вычитании отрицательного числа ошибочно сохраняют знак минус: например, считают 5 − (−2) равным 3. Скобки нужно заменить: 5 − (−2) = 5 + 2 = 7. Удобная проверка — посмотреть, стало ли число больше при вычитании отрицательного числа.

Результат иногда проверяют повторным вычитанием, хотя обратным действием является сложение. Нужно прибавить к разности вычитаемое и получить уменьшаемое. Если исходное число не восстановилось, вычисление надо проверить по разрядам или знакам.

Связь с другими темами

До изучения вычитания нужно уметь складывать числа, знать разрядный состав и пользоваться координатной прямой. Для действий с отрицательными числами понадобятся правила знаков и понятие противоположных чисел.

Вычитание постоянно встречается при решении уравнений и текстовых задач: оно помогает находить остаток, разность величин и неизвестный компонент. С его помощью также сравнивают числовые выражения.

Позже это действие используется при работе с дробями, рациональными выражениями и алгебраическими преобразованиями. Правило замены вычитания сложением противоположного числа сохраняется во всех этих темах.

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a называют уменьшаемым, число b — вычитаемым, результат — разностью.
• Разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.
• Вычитание нуля не изменяет число.
• Вычитание числа из самого себя даёт нуль.
• Вычитание числа равно прибавлению противоположного числа.
• При вычислениях со знаками необходимо сначала правильно раскрыть скобки.