"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Вычитание позволяет по известной сумме и одному слагаемому найти другое, а также узнать, на сколько одно число отличается от другого. В записи a − b число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а результат — разностью. Вычитание связано со сложением: разность вместе с вычитаемым даёт уменьшаемое. Поэтому можно проверять вычисления сложением и заменять вычитание сложением противоположного числа: a − b = a + (−b).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вычитание — действие, с помощью которого по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Например, если 8 + 3 = 11, то из 11 − 8 можно найти второе слагаемое 3. Это помогает восстановить неизвестную часть целого и решать уравнения.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи 14 − 6 уменьшаемое — 14: от него отнимают часть. По этому числу вместе с вычитаемым можно восстановить результат сложения.
Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В выражении 14 − 6 это число 6. Понимание его роли помогает правильно прочитать действие и не перепутать числа местами.
Разность — результат вычитания; запись a − b также называют разностью чисел a и b. Например, в равенстве 14 − 6 = 8 число 8 — разность. Название относится и к самому выражению 14 − 6, поэтому важно учитывать его порядок.
Вычитание связано со сложением обратным поиском: если a − b = c, то b + c = a. Разность c показывает, сколько нужно прибавить к вычитаемому b, чтобы получить уменьшаемое a. Поэтому проверка сложением работает: верный результат вместе с вычитаемым должен восстановить исходное число.
На координатной прямой вычитание можно представить как движение от уменьшаемого влево. Например, чтобы вычислить 5 − 3, начинаем в точке 5 и проходим влево три единичных отрезка, попадая в точку 2. Движение влево соответствует уменьшению координаты, поэтому такая модель помогает увидеть направление и величину изменения.
Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Противоположные числа отличаются только знаком, а их сумма равна нулю. Если от числа отнять b, это равносильно тому, чтобы прибавить число, которое при сложении с b обнуляет его; например, 9 − 4 = 9 + (−4).
Если увеличить или уменьшить уменьшаемое на несколько единиц, разность изменится на столько же и в том же направлении: (a + k) − b = (a − b) + k. А если увеличить вычитаемое на k, разность уменьшится на k: a − (b + k) = (a − b) − k. Это следует из смысла действия: от большего исходного числа остаётся больше, а если отнимать больше, остаётся меньше. Поэтому порядок чисел важен: например, 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5.
Многозначные числа вычитают по разрядам, записывая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если в разряде уменьшаемого цифра меньше цифры вычитаемого, занимают единицу у соседнего слева разряда: она превращается в десять единиц текущего разряда. В десятичных дробях сначала выравнивают запятые и при необходимости дописывают нули справа. Для чисел с разными знаками удобно заменить вычитание сложением противоположного числа и применить правила сложения чисел с разными знаками.
| Случай | Запись | Результат или правило | Проверка |
|---|---|---|---|
| Вычитание нуля | a − 0 | a − 0 = a | 0 + a = a |
| Вычитание числа из самого себя | a − a | a − a = 0 | a + 0 = a |
| Вычитание положительного числа | a − b, где b > 0 | a + (−b) | Разность + b = a |
| Вычитание отрицательного числа | a − (−b) | a + b | Разность + (−b) = a |
| Уменьшение уменьшаемого на несколько единиц | (a − k) − b | Разность уменьшается на k | Прибавить вычитаемое |
| Увеличение вычитаемого на несколько единиц | a − (b + k) | Разность уменьшается на k | Прибавить новое вычитаемое |
| Проверка результата вычитания сложением | a − b = c | b + c = a | Сумма должна совпасть с a |
Сначала определите, какой случай дан, а затем примените соответствующее правило. Для проверки не меняйте роли чисел: к разности прибавляют именно вычитаемое. В таблице a, b и k обозначают числа, а правило действует с учётом знаков.
При вычитании столбиком начинаем с единиц, затем переходим к десяткам и сотням. В единицах 4 меньше 6, поэтому потребуется занять единицу слева. В разряде десятков стоит ноль, значит, сначала занимаем сотню.
Записываем числа так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом: 704 − 286.
Занимаем одну сотню: 7 сотен становятся 6 сотнями, а ноль десятков — 10 десятками. Затем занимаем один десяток для единиц: остаётся 9 десятков, а 4 единицы превращаются в 14.
Вычитаем по разрядам: 14 − 6 = 8 единиц, 9 − 8 = 1 десяток, 6 − 2 = 4 сотни. Получаем 418.
Проверяем сложением: 418 + 286 = 704. Сумма совпала с уменьшаемым, следовательно, вычисление верно.
Ответ: 418.
Вычитаемое здесь отрицательное, поэтому сохранять два минуса как отдельные знаки при вычислении не нужно. Заменим вычитание сложением противоположного числа. На прямой это будет движение вправо, потому что прибавляется положительное число.
Записываем замену: −7 − (−12) = −7 + 12.
Сравниваем модули чисел: 12 больше 7, поэтому результат будет положительным. Вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 7 = 5.
На координатной прямой начинаем в точке −7 и перемещаемся вправо на 12 единичных отрезков. После перехода через ноль оказываемся в точке 5.
Ответ: 5.
Вычитание и сложение выполняются по порядку слева направо, если скобки не задают другое. Сначала выполним вычитание десятичных дробей, выровняв запятые. Затем заменим вычитание отрицательного числа сложением положительного.
Записываем первое вычитание с одинаковым числом знаков после запятой: 5,20 − 1,75 = 3,45.
Преобразуем оставшуюся часть: 3,45 − (−0,8) = 3,45 + 0,8.
Записываем 0,8 как 0,80 и складываем: 3,45 + 0,80 = 4,25.
Ответ: 4,25.
Уменьшаемое и вычитаемое путают, потому что вычитание принимают за действие, в котором числа можно переставлять, как при сложении. Тогда вместо a − b считают b − a. Проверяйте запись: уменьшаемое стоит перед знаком минус, а вычитаемое — после него; сложение разности с вычитаемым должно дать уменьшаемое.
Перестановка чисел меняет результат: например, 10 − 6 = 4, но 6 − 10 = −4. Эту ошибку допускают, когда помнят, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, и переносят правило на вычитание. Чтобы проверить себя, подставьте полученный ответ в равенство: разность плюс вычитаемое должна восстановить уменьшаемое.
При вычитании отрицательного числа иногда оставляют знак минус и считают выражение как обычное вычитание положительных чисел. Причина — невнимание к скобкам и знаку вычитаемого. Перед вычислением замените действие по правилу a − b = a + (−b): например, 6 − (−2) превращается в 6 + 2.
Ошибки при вычитании столбиком возникают, если неверно занимают единицу у соседнего разряда; в десятичных дробях часто не выравнивают запятые. Это смещает цифры относительно их разрядов и меняет значение числа. Запишите разряды друг под другом, проверьте, что запятые стоят на одной линии, а в конце выполните проверку сложением.
Для вычитания нужны умение складывать числа, знание противоположных чисел, координатной прямой и правил действий с десятичными дробями. Эти знания объясняют, как менять знак действия, куда двигаться по прямой и как записывать вычисления по разрядам. Если один из этих шагов вызывает трудность, полезно сначала повторить соответствующее правило.
Вычитание помогает решать уравнения и сравнивать числа, находить изменение величины и расстояние между значениями. Разность используют также при вычислении разницы цен, времени или длины. Замена вычитания сложением противоположного числа упрощает преобразование выражений.
Почему при вычитании нельзя менять числа местами?
Потому что вычитание не обладает переместительным свойством: например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. При перестановке чисел обычно получается другая разность.
Как понять, какое число является уменьшаемым, а какое вычитаемым?
Уменьшаемое стоит первым: из него вычитают. Вычитаемое стоит после знака минус — именно это число отнимают от уменьшаемого.
Почему минус на минус при вычитании превращается в плюс?
Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число: a − b = a + (−b). Поэтому при вычитании отрицательного числа мы прибавляем положительное, например −7 − (−12) = −7 + 12.
Как проверить правильность выполненного вычитания?
Сложите полученную разность с вычитаемым. Если результат равен уменьшаемому, вычитание выполнено верно.
Что делать, если в уменьшаемом не хватает цифры нужного разряда?
Займите одну единицу у ближайшего слева разряда и превратите её в десять единиц текущего разряда. Если слева стоит ноль, переходите дальше влево к разряду, где есть единица, и учитывайте изменения при вычитании.
Вычитание чисел
