Вычитание чисел

Определения и обозначения

Вычитание — действие, обратное сложению: нужно найти число, которое вместе с вычитаемым даёт уменьшаемое. Например, чтобы вычислить 10 − 6, ищут число, которое в сумме с 6 даст 10. Такое понимание связывает вычитание со знакомым действием сложения и помогает проверять вычисления.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи a − b оно стоит первым, слева от знака минус. Оно задаёт исходное количество или значение, от которого отнимают часть.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи a − b оно стоит после знака минус, то есть на месте b. Если перепутать его с уменьшаемым, получится уже другое действие и обычно другой результат.

Разность — результат вычитания, а также выражение a − b до вычисления его значения. Например, в записи 12 − 5 разностью называют и всё выражение, и его значение 7. Это слово позволяет отличить действие от найденного числа.

Как это устроено

Вычитание связано со сложением потому, что найти a − b — значит отыскать неизвестное слагаемое x в равенстве b + x = a. Например, в равенстве 5 + x = 13 неизвестно, сколько нужно прибавить к 5, чтобы получить 13. Это число и будет разностью 13 − 5. Такое рассуждение особенно полезно, когда вычитание не удаётся сразу выполнить устно.

Проверка вычитания следует из того же равенства: если b + x = a, то к найденной разности x нужно прибавить вычитаемое b. Получиться должно уменьшаемое a. Например, для 13 − 5 = 8 проверяем: 8 + 5 = 13. Если сумма не совпала с уменьшаемым, значит, в вычислении или записи есть ошибка.

Любое вычитание можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки, например 4 и −4; их сумма равна нулю. Поэтому 9 − 4 превращается в 9 + (−4), а 9 − (−4) — в 9 + 4. Во втором случае знак меняется не случайно: противоположным числу −4 является число 4.

Вычитание не обладает переместительным свойством: перестановка уменьшаемого и вычитаемого обычно меняет результат. Например, 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5. Причина в том, что в первом случае ищут число, которое нужно прибавить к 3, чтобы получить 8, а во втором — число, которое нужно прибавить к 8, чтобы получить 3. Поэтому нельзя менять числа местами, не меняя само действие.

При вычитании чисел сначала заменяют вычитание сложением противоположного числа, а затем применяют правила сложения. Если у исходных чисел разные знаки, после замены складываются числа с одинаковыми знаками: например, 5 − (−2) = 5 + 2 = 7. Если знаки исходных чисел одинаковые, после замены слагаемые имеют разные знаки: например, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3. В последнем случае сравнивают модули и сохраняют знак числа с большим модулем.

Свойства и правила вычитания чисел

В таблице сначала найди строку, которая соответствует знакам и виду чисел в примере. Если знаки отрицательные, удобно сперва записать вычитание как сложение противоположного числа, а затем применить правила сложения. Готовый ответ можно проверить по последней строке.

Разбор задач

Вычислите 18 − 7 и проверьте результат сложением

Нужно найти, сколько останется от 18, если убрать 7. Это вычитание натуральных чисел, поэтому можно представить числа как обычные количества. После вычисления проверим ответ обратным действием.

1. Вычитаем 7 из 18: 18 − 7 = 11.
2. Прибавляем вычитаемое к разности: 11 + 7 = 18.
3. Получили уменьшаемое, значит, проверка подтверждает результат.

Ответ: 11.

Вычислите (−9) − (−4)

Вычитаемое здесь отрицательное, поэтому важно не спутать его знак со знаком результата. Заменим вычитание сложением противоположного числа: противоположное числу −4 — число 4. После этого останется сложить числа с разными знаками.

1. (−9) − (−4) = (−9) + 4.
2. Модули равны 9 и 4; вычитаем меньший модуль из большего: 9 − 4 = 5.
3. Больший модуль у числа −9, поэтому результат отрицательный: −5.

Ответ: −5. Проверка: −5 + (−4) = −9, то есть разность вместе с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Температура была −3 °C, затем изменилась на 8 °C. На сколько градусов она отличается от 2 °C?

Фраза «изменилась на 8 °C» сама по себе не указывает, стала температура выше или ниже. Поэтому сначала уточняем направление изменения: считаем, что температура повысилась на 8 °C. Найдём новую температуру, а затем сравним её с 2 °C, вычитая 2 из полученного значения.

1. После повышения температура стала −3 + 8 = 5 °C.
2. Разность между новой температурой и 2 °C равна 5 − 2 = 3 °C.
3. Проверяем смысл: 5 °C выше 2 °C на 3 °C.

Ответ: температура отличается на 3 °C. Если бы она понизилась на 8 °C, условие означало бы другое изменение, и расчёт следовало бы составить заново.

Типичные ошибки

Переставляют уменьшаемое и вычитаемое, считая вычитание переместительным. Это может показаться допустимым, если помнить лишь, что числа участвуют в одном действии, но 9 − 4 и 4 − 9 дают разные результаты. Проверка сложением покажет ошибку: к разности прибавляют именно исходное вычитаемое и получают уменьшаемое.

При замене вычитания сложением забывают изменить знак вычитаемого. Например, ошибочно записывают 7 − 3 как 7 + 3, хотя правильно: 7 − 3 = 7 + (−3). Чтобы себя проверить, найди противоположное число к вычитаемому и подставь его в правило a − b = a + (−b).

Иногда знак вычитаемого принимают за знак результата. Но знак ответа определяется не одним знаком числа после минуса: сначала вычитание нужно заменить сложением противоположного, затем выполнить сложение. Например, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3, хотя вычитаемое 8 положительное. Проверяй знак по модулям уже после преобразования.

При вычитании чисел с разными знаками ошибочно складывают их модули. Причина — правило сложения чисел с одинаковыми знаками запоминают и применяют не к тем слагаемым. Сначала обязательно замени вычитание сложением противоположного числа: тогда станет видно, складывать модули или находить их разность. Например, 5 − (−8) = 5 + 8, а 5 − 8 = 5 + (−8).

Связь с другими темами

Чтобы уверенно вычитать, нужно уметь складывать числа, понимать, что такое отрицательное число, и знать противоположные числа. Преобразование a − b = a + (−b) позволяет свести вычитание к уже знакомым правилам сложения. Вычитание встречается при решении уравнений, например при поиске неизвестного слагаемого, и помогает находить изменение величин: разницу температур, высот или расстояний. Эти действия используются и при вычислениях с рациональными числами.

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a — уменьшаемое, b — вычитаемое.
• Результат вычитания называется разностью.
• a − b = a + (−b).
• Вычитание нельзя выполнять перестановкой чисел.
• Проверка: разность плюс вычитаемое равны уменьшаемому.