Вычитание чисел

Определения и обозначения

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. Например, в записи 18 − 7 уменьшаемое — 18: именно от этого количества отнимают часть. Название помогает определить, с какого числа начинается действие и какое количество было сначала.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В примере 18 − 7 число 7 показывает, сколько убирают или на сколько уменьшают исходное количество. Если перепутать его с уменьшаемым, смысл действия изменится.

Разность — результат вычитания; так же называют выражение, в котором одно число вычитают из другого. Например, в записи 18 − 7 = 11 числом-разностью является 11, а выражением-разностью можно назвать 18 − 7. Это слово используют и для ответа, и для самого действия, поэтому смысл подсказывает контекст.

Вычитание — действие, обратное сложению: оно помогает найти неизвестное слагаемое. Если известно, что к 7 прибавили некоторое число и получили 18, то 18 − 7 позволяет найти это число. Такое понимание связывает вычисление с проверкой и помогает составлять решения задач.

Как это устроено

Вычитание связано со сложением потому, что эти действия отвечают на обратные вопросы. Если a − b = c, то число c показывает, сколько осталось после того, как от a убрали b. Прибавив это оставшееся количество к убранному, мы восстанавливаем исходное: b + c = a. Например, если 15 − 6 = 9, то 6 + 9 = 15.

Разность показывает, сколько нужно прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое. Пусть нужно вычислить 13 − 8: можно спросить, сколько прибавить к 8, чтобы получилось 13. От 8 до 13 нужно пройти пять единиц, значит, разность равна 5. Такой способ особенно нагляден, когда числа близки или известны части числового ряда.

Натуральные числа удобно вычитать по разрядам, потому что значение цифры зависит от её места в записи. Сначала вычитают единицы из единиц, затем десятки из десятков, сотни из сотен и так далее. Например, в числе 764 цифра 6 означает 6 десятков, а не 6 единиц. Поэтому числа записывают так, чтобы разряды стояли один под другим.

Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого в одном разряде, её не получится вычесть напрямую, сохраняя значение числа. Тогда занимают одну единицу соседнего старшего разряда и заменяют её десятью единицами текущего разряда: один десяток — это десять единиц, одна сотня — десять десятков. Например, из 3 единиц нельзя вычесть 8 единиц, но после обмена одного десятка получается 13 единиц. Так число не меняется, а нужное вычитание становится возможным.

Компоненты вычитания и связь со сложением

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала назовите компоненты в записи вычитания. Затем сложите вычитаемое и полученную разность. Если сумма совпала с уменьшаемым, результат согласуется с обратной связью действий.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 764 − 231 и проверьте результат. Числа удобно расположить так, чтобы единицы, десятки и сотни оказались друг под другом. Здесь цифры уменьшаемого в каждом разряде не меньше соответствующих цифр вычитаемого, поэтому занимать разряд не потребуется.

1. В разряде единиц вычисляем 4 − 1 = 3.
2. В разряде десятков вычисляем 6 − 3 = 3.
3. В разряде сотен вычисляем 7 − 2 = 5, значит, разность равна 533.
4. Проверяем: 533 + 231 = 764, получена исходная величина.

Ответ: 533.

Задача 2. Вычислите 503 − 278. Записываем числа по разрядам; в единицах сразу вычесть 8 из 3 нельзя. В записи есть ноль десятков, поэтому единицу для разряда единиц нужно получить через разряд сотен.

1. Меняем одну сотню на 10 десятков: в числе остаются 4 сотни и появляются 10 десятков.
2. Передаём один десяток в разряд единиц. Получаем 9 десятков и 13 единиц.
3. Вычитаем по разрядам: 13 − 8 = 5, 9 − 7 = 2, 4 − 2 = 2.

Ответ: 225. Обмен единиц не изменил число: 503 по-прежнему состоит из 4 сотен, 9 десятков и 13 единиц. Это позволяет выполнить вычитание, не теряя значения исходного числа.

Задача 3. В библиотеке было 1250 книг. После выдачи части книг осталось 876. Сколько книг выдали? Остаток вместе с выданными книгами должен составить первоначальное количество. Значит, чтобы найти выданное, из общего количества нужно вычесть оставшееся.

1. Обозначим число выданных книг неизвестным количеством: 1250 − 876.
2. Вычитаем столбиком: в разряде единиц занимаем десяток, а для вычитания десятков занимаем сотню.
3. Получаем 1250 − 876 = 374.
4. Проверяем смысл ответа: 876 + 374 = 1250, то есть остаток и выданные книги дают первоначальное количество.

Ответ: выдали 374 книги.

Типичные ошибки

Нельзя просто вычитать меньшую цифру из большей в каждом разряде, если цифра уменьшаемого меньше. Так делают, потому что пытаются получить положительный ответ для каждой пары цифр, но меняют значение разрядов. Проверьте себя сложением: неверная разность обычно не даст вместе с вычитаемым исходное уменьшаемое.

Если при записи в столбик не выровнять числа по разрядам, единицы могут оказаться под десятками. Эту ошибку допускают, когда ориентируются на край записи, а не на значение цифр. Перед вычислением проверьте, что единицы стоят под единицами, десятки под десятками и так далее.

Перестановка уменьшаемого и вычитаемого меняет смысл и обычно меняет результат. Путаница возникает, когда не выясняют, какое количество было сначала, а какое убирают. Спросите себя, из какого числа вычитают; затем сложите ответ с вычитаемым и проверьте, получилось ли уменьшаемое.

Проверять вычитание повторным вычитанием ненадёжно: та же ошибка может повториться. Для проверки нужно использовать обратное действие — сложение. Прибавьте к разности вычитаемое и сравните сумму с уменьшаемым; совпадение подтверждает вычисление.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно вычитать в столбик, нужно знать состав числа по разрядам: например, что в одном десятке десять единиц, а в одной сотне десять десятков. Также пригодятся правила сложения натуральных чисел, поскольку сложение помогает проверять найденную разность. Эти знания объясняют не только порядок вычислений, но и смысл обмена единицы старшего разряда.

Вычитание используют в текстовых задачах на остаток и разность: оно помогает узнать, сколько осталось или насколько одно количество больше другого. Обратная связь со сложением позволяет проверить вычисление и проверить ответ по условию. Например, остаток и потраченное количество должны вместе составлять исходное.

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a — уменьшаемое, b — вычитаемое.
• Результат вычитания называется разностью.
• Чтобы проверить вычитание, к разности прибавляют вычитаемое.
• Вычитая в столбик, записывают числа так, чтобы совпадали разряды.
• Если цифры уменьшаемого не хватает, занимают единицу старшего разряда.