Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — отметка, показывающая положение, но не имеющая длины, ширины и высоты. На чертеже её изображают маленьким штрихом или кружком и называют заглавной латинской буквой: A, B, C. Точки нужны, чтобы задавать места, концы отрезков и начало луча.

Прямая — линия, которая бесконечно продолжается в обе стороны. Её обозначают двумя точками, лежащими на ней, например прямой AB, или одной строчной латинской буквой. Такое обозначение помогает отличать саму линию от отдельных частей, расположенных на ней.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например у отрезка AB концами являются A и B. В отличие от прямой, отрезок можно измерить, потому что расстояние между его концами конечно.

Луч — часть прямой, которая начинается в одной точке и бесконечно продолжается в одну сторону. Начало луча указывают первой буквой: луч AB начинается в A и проходит через B. Второй буквой задают направление, поэтому порядок букв здесь имеет значение.

Как это устроено

Через две различные точки можно провести ровно одну прямую. Если бы через них проходили две разные прямые, они имели бы общие точки, но в геометрии положение прямой определяется однозначно двумя точками. Поэтому, отметив A и B, мы получаем единственную прямую AB.

У прямой нет концов, потому что она не останавливается ни слева, ни справа от выбранных точек. Отрезок получают, когда из этой бесконечной линии оставляют только часть между двумя точками. Значит, отрезок лежит на прямой, но имеет границы и конечную длину.

Луч получают так: на прямой выбирают точку начала и одно направление движения. От точки A в сторону точки B можно рассматривать луч AB, продолжая его за B сколько угодно далеко. У луча есть начало, поскольку движение стартует в A, но нет конца, потому что выбранное направление не ограничивается другой точкой.

Если на одной прямой отметить точки A, B и C, причём B находится между A и C, то они выделяют отрезки AB и BC, а вся прямая дополнительно состоит из двух лучей с началом в B: BA и BC. Направление луча определяется второй точкой, поэтому запись BA означает сторону от B к A, а BC — сторону от B к C. Само расположение точек подсказывает, какие части являются соседними и в какую сторону продолжаются лучи.

На чертеже прямая обычно изображается конечной полосой бумаги, отрезок — линией между двумя отметками, а луч — линией с одной отмеченной границей. Но это только условные изображения: край листа не является концом прямой, а длина нарисованного отрезка не обязана совпадать с указанной в задаче. Вид фигуры проверяют по обозначениям, точкам и условию.

Сравнение основных геометрических фигур

Сначала определите, есть ли у фигуры границы, а затем посмотрите, в какие стороны она продолжается. Две ограничивающие точки указывают на отрезок, одна начальная точка — на луч, а отсутствие концов — на прямую. Если точка изображена отдельно, это не часть линии, а самостоятельный объект.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Обозначьте её двумя способами. Нужно использовать свойство двух различных точек и выбрать корректные обозначения.

1. Поставьте на чертеже две разные точки и подпишите их A и B.
2. Проведите линию через обе точки и продолжите её мысленно в обе стороны, обозначив полученную прямую AB.
3. Выберите строчную букву, например a, и подпишите ею ту же прямую. Записи прямая AB и прямая a обозначают один объект.

Ответ. Через точки A и B проходит единственная прямая. Её можно обозначить прямой AB или строчной буквой a, если такая буква выбрана на чертеже.

Задача 2

Условие. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Назовите отрезки, на которые точки делят прямую, и лучи с началом в B. Сначала нужно учесть порядок точек, а затем различить конечные и бесконечные части.

1. Так как B лежит между A и C, соседними частями между отмеченными точками являются отрезки AB и BC.
2. От точки B в сторону A идёт луч BA, а от точки B в сторону C — луч BC.
3. Проверьте первую букву в названиях лучей: в обоих случаях это B, значит, оба луча имеют начало в B.

Ответ. Прямая разделена точками на отрезки AB и BC и два луча BA и BC с началом в B. Лучи идут в противоположных направлениях.

Задача 3

Условие. Постройте прямую, отметьте на ней точки A и B, а вне прямой — точку C. Проведите луч с началом в A через B и отрезок AC. Нужно определить, какие фигуры выходят за пределы изображения.

1. Проведите прямую и поставьте на ней A и B, затем отметьте C вне этой прямой.
2. Соедините A с B и продолжите линию от A через B в том же направлении: это луч AB.
3. Соедините A и C только конечным участком между точками: это отрезок AC, а исходная прямая продолжается в обе стороны.

Ответ. За пределы чертежа продолжаются прямая и луч AB. Отрезок AC ограничен точками A и C и сам по себе дальше них не продолжается.

Типичные ошибки

Считать, что прямая заканчивается у края страницы, ошибочно, потому что на рисунке показывают лишь удобную часть бесконечной линии. Так думают из-за ограниченного размера листа. Проверьте себя: у прямой нет отмеченных концов, а её можно мысленно продолжить в обе стороны.

Путать отрезок и прямую легко, если смотреть только на нарисованный штрих. Отрезок имеет два конца и конечную длину, тогда как прямая не ограничена. Найдите на чертеже точки-границы и проверьте, продолжается ли линия за них.

Обозначать луч одной точкой или переставлять его буквы бездумно нельзя. Одной буквы недостаточно, чтобы показать направление, а первая буква названия луча указывает его начало. Для проверки прочитайте обозначение слева направо: луч AB начинается в A.

Нельзя считать размеры и наклон фигур точными только по виду рисунка. Чертёж часто делают условным, чтобы показать расположение объектов, а не их настоящий масштаб. Сверяйтесь с условием, обозначениями и данными задачи, а не с длиной штриха на экране.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь отмечать точки и читать простые геометрические чертежи. Точки и прямые станут основой для изучения углов, многоугольников и взаимного расположения фигур. Отрезки нужны при измерении длины, сравнении фигур и решении задач на периметр.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая бесконечна в обе стороны.
• Отрезок имеет два конца.
• Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одну сторону.
• Первая буква в обозначении луча указывает его начало.
• Чертёж показывает фигуры условно и не всегда передаёт их размеры.