"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Развёртка параллелепипеда — это плоская фигура, полученная, если разрезать некоторые рёбра поверхности и разложить её грани на плоскости. По развёртке можно понять, из каких граней состоит параллелепипед, и изготовить его модель из бумаги или картона. Главное — сохранить форму и размеры каждой грани, соединить их по подходящим рёбрам и расположить так, чтобы при сгибании они образовали замкнутую поверхность без наложений и щелей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней являются параллелограммами, а противоположные грани попарно параллельны и равны. Проще говоря, это объёмное тело с шестью плоскими сторонами; прямоугольная коробка — частный пример такого тела. Определение помогает понять, какие фигуры должны составлять его поверхность.
Развёртка параллелепипеда — фигура на плоскости, состоящая из всех граней параллелепипеда, соединённых по рёбрам так, что при сгибании получается исходное тело. Она нужна, чтобы изображать или изготовлять объёмную фигуру на плоском листе. По ней можно проверить форму и размеры каждой грани до того, как складывать модель.
Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Его три измерения обычно обозначают a, b и c: длину, ширину и высоту. Эти обозначения позволяют быстро находить размеры граней и площадь поверхности, не перечисляя их каждый раз словами.
У параллелепипеда шесть граней, поэтому в его развёртке тоже должны присутствовать ровно шесть фигур. Если хотя бы одной грани нет, поверхность после складывания останется незакрытой; если грань добавлена лишняя, она не сможет занять место на теле. Поэтому при проверке развёртки сначала пересчитывают грани и выясняют, какой стороне тела соответствует каждая из них.
Соседние грани параллелепипеда имеют общее ребро, и в развёртке это соседство сохраняется: фигуры соединяются сторонами одинаковой длины. Это необходимо потому, что при сгибании стороны, которые были одним ребром, должны совпасть. У прямоугольного параллелепипеда грани образуют три пары равных прямоугольников: со сторонами a и b, a и c, b и c. Если размеры соединяемых сторон не совпадают, сгибание не соберёт тело.
Разрезают не все рёбра поверхности: часть рёбер оставляют линиями сгиба, чтобы грани удерживались вместе. Если мысленно разрезать вообще каждое ребро, получатся отдельные грани, а не единая развёртка. Напротив, если разрезов недостаточно, поверхность может не расправиться на плоскость без наложений. Значит, нужно выбрать такие места разреза, чтобы грани раскрылись и остались соединены в одну фигуру.
После сгибания развёртка должна замкнуться: шесть граней образуют оболочку без щелей и перекрытий. Это условие нельзя проверить только по количеству фигур, потому что некоторые соединения подходящих граней приводят к наложению. Удобно мысленно выбрать одну грань основанием и по очереди поднять прилегающие к ней стороны. Так становится видно, какие грани окажутся напротив и сойдутся ли свободные рёбра.
У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, потому что у них одинаковые пары измерений. Поэтому на развёртке должны быть две грани каждого из трёх видов: a × b, a × c и b × c. Площадь поверхности равна сумме площадей всех шести граней: S = 2(ab + ac + bc). Формула полезна для проверки: сумма площадей прямоугольников в развёртке должна дать ту же площадь поверхности.
В таблице показано, какие прямоугольники составляют поверхность прямоугольного параллелепипеда. Используй её как список для проверки: у каждого вида грани должно быть по две штуки. Если размеры тела известны, можно подставить их вместо a, b и c и вычислить площади.
| Пара граней | Размер одной грани | Площадь одной грани | Количество |
|---|---|---|---|
| Верхняя и нижняя | a × b | ab | 2 |
| Передняя и задняя | a × c | ac | 2 |
| Боковые | b × c | bc | 2 |
Задача. Нужно начертить развёртку прямоугольного параллелепипеда с длиной 5 см, шириной 3 см и высотой 2 см. Проверь, сколько и каких прямоугольников потребуется, и найди площадь поверхности модели. Начертить можно разными способами, поэтому важно не копировать единственное расположение граней, а соблюсти их размеры и возможность сложить фигуру.
Обозначим измерения: a = 5 см, b = 3 см, c = 2 см. У тела шесть граней, а противоположные грани равны, поэтому достаточно определить три вида прямоугольников и взять каждый дважды.
Вычислим размеры граней: две грани будут 5 × 3 см, две — 5 × 2 см, ещё две — 3 × 2 см. Такой набор подходит по измерениям: у каждой стороны, к которой присоединяется соседняя грань, есть сторона той же длины.
Нарисуем четыре прямоугольника в ряд, чередуя их боковые размеры так, чтобы соседние стороны имели общую длину. Например, можно расположить в полосе грани 5 × 2, 3 × 2, 5 × 2 и 3 × 2 см. К одной из граней 5 × 2 см присоединим сверху и снизу два прямоугольника 5 × 3 см. При сгибании полоса станет боковой поверхностью, а эти две грани закроют верх и низ.
Проверим складывание мысленно: все шесть граней использованы, а размеры соединённых сторон совпадают. Полоса из четырёх боковых граней замыкается вокруг тела, а две оставшиеся грани закрывают противоположные отверстия. Если при сгибании какая-либо грань накрывает другую или остаётся щель, значит, расположение нужно изменить.
Найдём площадь поверхности по формуле S = 2(ab + ac + bc). Подставим значения: S = 2(5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2) = 2(15 + 10 + 6) = 62 см². Это также сумма площадей двух прямоугольников каждого вида.
Ответ: нужны две грани 5 × 3 см, две грани 5 × 2 см и две грани 3 × 2 см; площадь поверхности равна 62 см². Полученную фигуру следует проверить сгибанием: грани должны сомкнуться без наложений и щелей.
В развёртке нарисовано не шесть граней. Ошибку допускают, когда считают только видимые стороны коробки или забывают нижнюю грань. Пересчитай фигуры и сопоставь их с тремя парами равных противоположных граней.
Соединены стороны разной длины. На плоском чертеже соседство может казаться правильным, но при сгибании такие рёбра не совпадут. Проверь длины каждой пары соединяемых сторон до вырезания модели.
Все грани подходящих размеров считают готовой развёрткой. Шесть прямоугольников могут перекрываться при складывании или не закрыть тело. Мысленно согни фигуру вокруг линий соединения либо сделай бумажную модель и проверь, что оболочка замкнулась.
Площадь поверхности считают как площадь одной грани. Так происходит, если забыть, что у тела шесть сторон. Запиши площади трёх видов граней и каждую умножь на два; результат проверь формулой S = 2(ab + ac + bc).
Развёртка связывает геометрию на плоскости с объёмными телами: прямоугольники и параллелограммы при сгибании становятся гранями. Она помогает применять знания о периметре и площади многоугольников, чтобы находить площадь поверхности. Ещё развёртки используются при изготовлении коробок и моделей: к ним добавляют клапаны для склеивания, которые не относятся к граням самого параллелепипеда.
Развёртка состоит из всех граней параллелепипеда, соединённых по рёбрам.
У параллелепипеда шесть граней; противоположные грани равны.
У прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c есть по две грани размеров a × b, a × c и b × c.
При сгибании рёбра должны совпасть, а поверхность — замкнуться без щелей и наложений.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + ac + bc).
Развёртка параллелепипеда
