"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия помогают находить сумму, разность, произведение и частное чисел. Они нужны, чтобы считать, находить неизвестные величины и решать задачи. Сложение и вычитание, а также умножение и деление связаны как обратные действия: с их помощью можно проверять вычисления. Чтобы правильно находить значение выражения, учитывают скобки и приоритет действий: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два числа объединяют, чтобы найти их общее количество. Его записывают так: a + b, где a и b — слагаемые, а результат — сумма. Например, если к четырём предметам добавить три, всего будет семь. Сложение используют, когда нужно узнать, сколько стало вместе.
Вычитание — действие, обратное сложению: оно помогает найти часть целого или узнать, на сколько одно число больше другого. Запись a − b означает, что из уменьшаемого a вычитают вычитаемое b, а получают разность. Например, из семи предметов убрали три — осталось четыре. Вычитание позволяет восстановить слагаемое, если известны сумма и другое слагаемое.
Умножение — сложение одинаковых слагаемых, записанное короче. В записи a · b числа a и b называются множителями, а результат — произведением. Например, 4 · 3 можно представить как 3 + 3 + 3 + 3: число 3 повторяется четыре раза. Такая запись удобна, когда одинаковое количество берут несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению: оно показывает, на сколько равных частей разделили число или сколько раз одно число содержится в другом. В записи a : b число a — делимое, b — делитель, результат — частное. Например, 12 : 3 = 4 означает, что 12 разделили на три равные части по 4. Делить можно только на число, не равное нулю.
Сложение и вычитание связаны тем, что одно действие отменяет результат другого. Если a + b = c, то из всей суммы c можно убрать слагаемое a и получить b: c − a = b. Если убрать b, останется a, поэтому c − b = a. Эта связь помогает проверять вычисления и находить неизвестное слагаемое.
Умножение заменяет многократное сложение одного и того же числа. Например, 5 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15: множитель 5 показывает, сколько одинаковых слагаемых взяли, а множитель 3 — какое число повторяется. Значит, при умножении натуральных чисел второй множитель записывают как слагаемое столько раз, сколько указывает первый. Краткая запись особенно полезна, когда одинаковых слагаемых много.
Умножение и деление взаимно обратны, потому что деление помогает восстановить множитель. Если a · b = c, то c : a = b и c : b = a, когда деление определено. Например, 6 · 4 = 24, поэтому 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Это позволяет проверять результат умножения делением, а результат деления — умножением.
В выражении без скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Так принято, чтобы одна и та же запись имела один общий порядок вычислений: например, 10 + 2 · 3 означает 10 + 6, а не 12 · 3. Если действия имеют одинаковый приоритет — например, деление и умножение, — их выполняют слева направо. Скобки меняют порядок: сначала считают то, что заключено в них.
Порядок действий может изменить значение выражения, потому что действия не всегда дают одинаковый результат при перестановке. Сравним 20 − 8 : 2 и (20 − 8) : 2. В первом выражении сначала делят: 20 − 4 = 16; во втором сначала считают в скобках: 12 : 2 = 6. Поэтому скобки нужны, когда требуется выполнить действие раньше обычного.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат | Обратное действие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | Слагаемые | Сумма | Вычитание |
| Вычитание | a − b | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложение |
| Умножение | a · b | Множители | Произведение | Деление |
| Деление | a : b | Делимое, делитель | Частное | Умножение |
Пользуйся таблицей, чтобы правильно называть числа в записи действия и его результат. Колонка «Обратное действие» подсказывает, чем проверить вычисление или найти неизвестный компонент. При делении помни, что делитель не должен быть равен нулю.
Вычислить 28 + 37. Удобно складывать числа по разрядам: отдельно единицы и десятки, чтобы не потерять перенос при сложении единиц. Затем проверим результат вычитанием одного слагаемого из суммы. Такая проверка использует связь сложения с обратным ему действием.
Ответ: 65.
Найти значение выражения 84 − 6 · 9. Здесь есть умножение и вычитание, поэтому нельзя сразу считать слева направо: умножение имеет приоритет. Сначала выясним, сколько составляет произведение 6 · 9, а затем вычтем его из 84. Так порядок действий сохраняет смысл записи.
Ответ: 30.
Вычислить (96 − 36) : 5 + 7 · 4. Скобки задают первое действие, а после них остаются деление, умножение и сложение. Деление и умножение равны по приоритету, поэтому выполним их по порядку слева направо, а сложение оставим последним. Проверим промежуточные результаты обратными действиями.
Ответ: 40.
Ошибка — выполнять все действия слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так можно получить неверный результат, например посчитать 10 + 2 · 3 как 36. Ошибка возникает, если принять расположение знаков за единственное правило порядка вычислений. Перед счётом отметь скобки, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание.
При вычитании иногда меняют числа местами и вычитают уменьшаемое из вычитаемого; похожая путаница бывает при делении. Эти действия зависят от порядка чисел: 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Причина ошибки — перенос свойства сложения и умножения на действия, для которых оно обычно неверно. Проверь себя обратным действием: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое, а частное на делитель — делимое.
Можно ошибочно решить, что умножение всегда увеличивает число. Для натуральных чисел умножение на число больше 1 увеличивает положительное число, но умножение на 1 его не меняет, на 0 даёт 0, а на положительное число меньше 1 уменьшает. Заблуждение часто возникает из примеров только с натуральными множителями больше единицы. Проверь величину множителя и сравни ответ с исходным числом.
Деление на ноль не имеет смысла. Если попытаться найти частное ненулевого числа при делителе 0, произведение предполагаемого частного на 0 всё равно будет 0, а не делимым. При делении нуля на ноль подходило бы любое число, поэтому единственного ответа тоже нет. Перед вычислением проверь, что делитель отличен от нуля.
Для вычислений понадобятся натуральные числа, понимание разрядов числа и знание таблицы умножения. Арифметические действия применяются при нахождении значений выражений и решении текстовых задач: нужно понять условие и выбрать подходящее действие. Связь обратных действий помогает находить неизвестные компоненты в уравнениях. Ею же проверяют, верно ли выполнено вычисление.
Как проверить результат сложения или вычитания?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Таково общее соглашение о порядке действий: оно помогает всем одинаково понимать и вычислять выражения без скобок. Если сначала нужно сложить, эту часть заключают в скобки.
В каком порядке выполнять деление и умножение в одном выражении?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют по порядку слева направо. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала считают 24 : 3, затем умножают результат на 2.
Можно ли менять местами числа при вычитании и делении?
Обычно нельзя: порядок чисел влияет на результат. Например, 9 − 4 = 5, но 4 − 9 = −5; а 12 : 3 = 4, тогда как 3 : 12 = ¼.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. При делении на ноль такого числа не существует, если делимое ненулевое; а для нулевого делимого ответ не единственный.
Арифметические действия
