"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Арифметические действия помогают находить новые количества и сравнивать числа. Сложение объединяет группы, вычитание находит остаток или разницу, умножение сокращает запись повторяющегося сложения, а деление распределяет поровну или показывает, сколько раз одно число содержится в другом. У каждого действия есть свои компоненты и результат. Чтобы верно вычислять выражения, нужно знать смысл действий, уметь проверять результат и соблюдать порядок вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, которое объединяет количества. В записи a + b = c числа a и b называют слагаемыми, а c — суммой; знаки «+» и «=» показывают, что количества складывают и указывают результат. Сложение нужно, когда к одной группе предметов добавляют другую или находят общее число предметов.
Вычитание — действие, с помощью которого находят остаток или разность двух чисел. В записи a − b = c число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а c — разностью. Такая запись помогает увидеть, какое количество было сначала, сколько убрали и сколько осталось, либо сравнить два количества.
Умножение — сложение нескольких одинаковых слагаемых. В записи a · b = c числа a и b называют множителями, а c — произведением; например, 4 · 6 означает, что число 6 складывают четыре раза. Умножение удобно, когда одинаковые группы повторяются, потому что заменяет длинную запись короткой.
Деление — действие, которое распределяет количество на равные части или показывает, сколько раз одно число содержится в другом. В записи a : b = c число a — делимое, b — делитель, c — частное; делитель не может быть равен нулю. Названия компонентов помогают понять задачу и правильно проверить полученный результат.
Представь, что в одной коробке 8 карандашей, а в другую положили ещё 5. Чтобы узнать общее количество, нужно объединить две группы: 8 + 5 = 13. Здесь складываются не сами предметы по одному, а известные количества предметов. Вычитание отвечает на вопрос «сколько осталось?»: если из 13 карандашей взять 5, останется 13 − 5 = 8. Оно же помогает узнать, на сколько больше одно количество другого: если у одного ученика 13 карандашей, а у другого 8, разность 13 − 8 = 5 показывает разницу.
Умножение заменяет повторное сложение одинаковых слагаемых, потому что каждую равную группу можно посчитать одинаковым способом. Четыре раза взять по 6 яблок — это 6 + 6 + 6 + 6, а короче записать 4 · 6. Первый множитель показывает число повторений, второй — какое число повторяется; произведение равно 24. Значит, умножение особенно удобно, когда в задаче несколько одинаковых групп, а не разные количества.
У деления два близких, но разных смысла. Если 12 конфет поровну раздать трём детям, выражение 12 : 3 = 4 показывает, сколько конфет получит каждый. Если разложить те же 12 конфет по 3 в пакет, деление 12 : 3 = 4 покажет число пакетов. Деление на ноль не определено: частное при проверке нужно умножить на делитель, но умножение любого числа на ноль даёт только ноль. Поэтому при ненулевом делимом подходящего числа нет, а при нулевом частное нельзя определить однозначно.
Сложение и вычитание взаимно обратны: если 8 + 5 = 13, то из 13 можно вычесть 5 и получить 8. Поэтому результат вычитания проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и смотрят, получилось ли уменьшаемое. Умножение и деление также обратны: из 4 · 6 = 24 следует 24 : 6 = 4. Чтобы проверить деление, частное умножают на делитель и сравнивают произведение с делимым.
В выражениях действия выполняют в установленном порядке, потому что скобки и знаки операций задают, какие вычисления относятся друг к другу. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием; в каждой такой группе вычисляют слева направо. Например, без скобок умножение нельзя откладывать до окончания сложения.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | a и b — слагаемые | c — сумма |
| Вычитание | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое | c — разность |
| Умножение | a · b = c | a и b — множители | c — произведение |
| Деление | a : b = c, b ≠ 0 | a — делимое, b — делитель | c — частное |
Сначала найди в записи знак действия, затем по таблице определи названия его компонентов и результата. Например, в выражении 15 − 7 число 15 — уменьшаемое, а 7 — вычитаемое. Условие b ≠ 0 напоминает, что делить на ноль нельзя.
В коробке лежали 8 карандашей, положили ещё 5. Нужно найти общее количество, а не сравнить группы или узнать остаток. Значит, количества объединяются сложением: первое слагаемое — 8, второе — 5. Складываем и проверяем, что результат больше каждого из слагаемых.
Ответ: стало 13 карандашей.
В четырёх пакетах лежит по 6 яблок. Одинаковое число повторяется четыре раза, поэтому можно записать сумму 6 + 6 + 6 + 6. Чтобы не складывать одинаковые слагаемые по очереди, заменим повторение умножением: множитель 4 показывает число пакетов, а 6 — число яблок в каждом.
Ответ: всего 24 яблока.
В выражении 36 : 4 + (7 − 3) · 5 есть скобки, деление, умножение и сложение. Если считать подряд слева направо, можно получить неверный результат, поэтому сначала отметим порядок операций. После вычисления в скобках выполняем деление и умножение, а сумму находим последней.
Ответ: значение выражения равно 29.
Перестановка чисел при вычитании или делении обычно меняет результат: 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Ошибка возникает, если переносить на эти действия привычное свойство сложения и умножения. Проверь запись обратным действием и оцени, подходит ли ответ условию.
Деление на ноль не даёт допустимого частного. Иногда кажется, что ноль просто можно поставить в знаменатель, но при проверке умножением это не работает: произведение на 0 всегда равно 0. Перед делением проверь, что делитель отличен от нуля.
В выражении без скобок можно ошибочно выполнить сложение раньше умножения, потому что оно написано левее. Причина — чтение выражения как обычной строки, без учёта приоритета действий. Сначала найди умножение и деление, а затем выполняй сложение и вычитание.
Действия одного порядка нельзя начинать справа, если скобки не задают иной порядок: вычисления идут слева направо. Например, в 20 : 5 · 2 сначала нужно разделить 20 на 5, а не умножать 5 на 2. Отметь знаки одинакового приоритета и проверь, с какого края начал считать.
Для работы с арифметическими действиями нужно знать натуральные числа, понимать, что числа выражают количества, и уметь читать математические записи. Эти действия лежат в основе вычисления числовых выражений и решения текстовых задач: по условию нужно выбрать подходящее действие. Позже порядок действий и связь обратных операций помогут работать с дробями и отрицательными числами, а также решать уравнения. Поэтому важно не только считать, но и понимать, почему выбрано именно это действие.
Чем вычитание отличается от сравнения «на сколько больше»?
Вычитание — это действие, с помощью которого находят остаток или разность. Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, тоже вычитают меньшее число из большего: это один из смыслов нахождения разности.
Почему умножение называют сложением одинаковых слагаемых?
Если несколько раз складывают одно и то же число, умножение позволяет записать это короче. Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 4 · 6: число 6 взяли слагаемым четыре раза.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. При делении на ноль никакое число в произведении на 0 не даст ненулевое делимое, а для нулевого делимого подходили бы любые числа, поэтому единственного частного нет.
Как проверить результат вычитания или деления?
Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и получают делимое.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем — умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одного порядка выполняют слева направо.
Арифметические действия
