"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия позволяют объединять количества, находить разницу, повторять одинаковые слагаемые и распределять предметы поровну. У каждого действия есть свои компоненты и результат: например, при сложении слагаемые дают сумму. Действия связаны попарно: вычитанием проверяют сложение, а делением — умножение. Знание этих связей помогает вычислять выражения, находить неизвестные числа и решать задачи. При вычислениях также нужно соблюдать порядок действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два числа объединяют; результат называют суммой, а числа — слагаемыми. Запись 5 + 3 = 8 означает, что к пяти предметам добавили ещё три и получили восемь. Сложение помогает находить общее количество, например число всех книг на двух полках.
Вычитание — действие, обратное сложению: из уменьшаемого вычитают вычитаемое и получают разность. В записи 8 − 3 = 5 число 8 — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 5 — разность. Вычитание нужно, чтобы узнать, сколько осталось или на сколько одно количество больше другого.
Умножение натуральных чисел можно понимать как сложение одинаковых слагаемых. Результат называют произведением, а числа — множителями: например, 4 · 3 — это четыре раза по три. Такое действие удобно, когда равные группы повторяются много раз, и позволяет считать короче, чем последовательное сложение.
Деление — действие, обратное умножению: делимое делят на делитель и получают частное. В записи 12 : 3 = 4 число 12 — делимое, 3 — делитель, 4 — частное. Делить на ноль нельзя: такого действия с определённым результатом не существует.
Сложение связано с объединением количеств: если в одной коробке 6 карандашей, а в другой 4, общее число находят записью 6 + 4. Проверить сумму можно вычитанием: из полученного общего количества убирают одно из слагаемых. Если остаётся второе слагаемое, вычисление согласуется с обратным действием.
Вычитание помогает восстановить неизвестное слагаемое, потому что сложение и вычитание отменяют друг друга. Если известно, что □ + 7 = 12, то неизвестное число равно 12 − 7. Порядок чисел здесь важен: первое число показывает, от чего отнимают, а второе — сколько отнимают. Поэтому перестановка чисел при вычитании обычно меняет результат.
Умножение заменяет многократное сложение одинаковых чисел: 5 · 4 можно прочитать как пять групп по четыре, то есть 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Запись умножения короче и особенно полезна, когда одинаковых групп много. Проверка делением использует обратную связь: если 5 · 4 = 20, то 20 : 5 = 4 и 20 : 4 = 5.
Деление можно понимать двумя способами. При распределении 15 конфет поровну между 3 детьми каждый получит 15 : 3 = 5 конфет. Другой вопрос — сколько раз число 3 содержится в 15; ответ тот же: 5 раз. Оба смысла связаны с умножением, поскольку 3 · 5 = 15.
Обратные пары действий помогают находить неизвестный компонент. Если неизвестно слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое; если неизвестно вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность. Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Чтобы найти делимое, частное умножают на делитель, а чтобы найти делитель — делимое делят на частное.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат | Обратное действие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | + | Слагаемые | Сумма | Вычитание |
| Вычитание | − | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложение |
| Умножение | · или × | Множители | Произведение | Деление |
| Деление | : | Делимое, делитель | Частное | Умножение |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое действие записано, затем найдите его компоненты и результат. Столбец с обратным действием подсказывает, как проверить вычисление или найти неизвестное число. При делении помните, что делитель не может быть равен нулю.
Задача 1. Вычислите 38 + 27 и проверьте результат обратным действием. Сначала удобно сложить десятки и единицы: так легче не пропустить переход через десяток. Проверка должна показать, что из суммы при вычитании одного слагаемого получается другое.
Ответ: 65. Проверка верна, поскольку после вычитания получили исходное слагаемое 38.
Задача 2. Найдите неизвестное слагаемое в равенстве □ + 46 = 103. Неизвестное число вместе с 46 даёт сумму 103. Чтобы восстановить это число, нужно убрать из суммы известное слагаемое, то есть выполнить обратное действие — вычитание.
Ответ: 57. Подстановка подтверждает, что равенство выполняется.
Задача 3. Вычислите 84 − 6 · (9 + 3) : 4. В выражении есть скобки, умножение, деление и вычитание, поэтому важно не начинать с первого действия слева. Сначала вычисляем то, что заключено в скобки, затем выполняем умножение и деление по порядку слева направо, и только после этого вычитаем.
Ответ: 66. Порядок действий соблюдён: скобки, умножение и деление, затем вычитание.
При вычитании или делении иногда меняют числа местами, перенося на эти действия переместительное свойство сложения и умножения. Так ошибаются, потому что все действия кажутся похожими по записи. Но 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Проверяйте, соответствует ли порядок чисел смыслу задачи и компонентам действия.
Некоторые считают, что на ноль делить можно, ведь предметы будто бы можно разделить на части. Однако деление должно давать частное, которое при умножении на делитель восстанавливает делимое; умножение на ноль всегда даёт ноль. Поэтому деление на ноль не определено. Проверка через умножение помогает заметить, что подходящего частного для ненулевого делимого нет.
В выражении без скобок могут сначала выполнить сложение, а потом умножение, ориентируясь только на чтение слева направо. Это происходит, если забыть о приоритете действий: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Например, в 2 + 3 · 4 сначала считают 3 · 4, а затем прибавляют 2. Перед вычислением отметьте порядок действий и проверьте его по правилам.
При поиске неизвестного компонента иногда повторяют исходное действие, хотя нужно применить обратное. Причина — путаница между названием компонента и его ролью в равенстве. Например, неизвестное слагаемое находят вычитанием, а неизвестный множитель — делением. Подставьте найденное число в исходную запись: если равенство не выполняется, компонент найден неверно.
Для работы с арифметическими действиями нужно понимать, что обозначает число, уметь считать и читать запись выражения. Эти умения помогают отличать компоненты действий и выбирать подходящее вычисление. Сами действия используются при нахождении значений выражений и решении уравнений. В текстовых задачах они переводят описание количества, разницы или равных групп в математическую запись.
Как проверить, правильно ли выполнено сложение?
Вычти из суммы одно из слагаемых. Если получилось другое слагаемое, сложение выполнено верно. Например, для 38 + 27 = 65 проверка: 65 − 27 = 38.
Почему вычитание не обладает переместительным свойством?
Потому что результат зависит от того, какое число уменьшают и какое вычитают. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 не равно 5. При перестановке чисел меняется задача.
Как связаны умножение и сложение?
Умножение натурального числа на натуральное можно представить как сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Такое понимание помогает увидеть смысл умножения.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяется умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Если делитель равен нулю, произведение всегда равно нулю, поэтому ненулевое делимое получить невозможно. А для делимого 0 частное не определяется единственным образом.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем — умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо.
Арифметические действия
