"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
При сборе урожая важно различать, сколько продукции получили всего и сколько приходится на каждый квадратный метр или гектар. Первая величина зависит и от размера участка, и от урожайности. Их связь выражается простой формулой: общий урожай равен площади, умноженной на урожайность. С её помощью можно рассчитать сбор с поля, определить урожайность или найти нужную площадь — главное, согласовать единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Урожай — количество сельскохозяйственной продукции, собранной с участка. Обычно его выражают единицами массы: килограммами, центнерами или тоннами. Например, говорят, что собрали 18 кг овощей или 48 ц зерна. Это число показывает массу всей собранной продукции, если речь идёт обо всём участке.
Урожайность — масса урожая, полученная с единицы площади. Её измеряют, например, в кг/м² или ц/га: запись кг/м² означает количество килограммов с одного квадратного метра, а ц/га — центнеров с одного гектара. Урожайность помогает сравнить, насколько продуктивны разные участки, даже если их площадь неодинакова. Поэтому она не равна общей массе собранных плодов или зерна.
Площадь посева — площадь участка, на котором выращивали урожай. Для прямоугольного участка её находят умножением длины на ширину: S = a × b. Если длину измерили в метрах и ширину тоже в метрах, площадь получится в квадратных метрах. Знание площади нужно, чтобы связать сбор продукции с урожайностью.
Общий урожай — масса продукции со всего участка. Его измеряют в единицах массы, например в килограммах или центнерах, и он зависит как от площади, так и от урожайности. Урожайность показывает сбор с единицы площади, а общий урожай — результат для всего участка. Это различие помогает выбрать нужное действие в задаче.
Общий урожай зависит от площади участка и урожайности, потому что каждая единица площади даёт некоторое количество продукции. Если на каждом квадратном метре получают одинаковую массу, то на большем участке таких квадратных метров больше. Значит, при неизменной урожайности общий сбор возрастает вместе с площадью. Например, удвоение площади при той же урожайности приводит к удвоению общего урожая.
Чтобы найти сбор со всего поля, нужно сложить урожай со всех его равных единиц площади. Если площадь измерена в квадратных метрах, а урожайность показывает килограммы с одного квадратного метра, умножение даёт массу в килограммах. Поэтому общий урожай равен произведению площади на урожайность: M = S × u, где M — общий урожай, S — площадь, u — урожайность. Это правило работает и для других согласованных единиц, например га и ц/га.
Если общий урожай уже известен, а требуется урожайность, нужно выяснить, сколько продукции приходится на одну единицу площади. Для этого общий сбор распределяют поровну по площади, то есть делят массу на площадь: u = M ÷ S. Если же известны общий урожай и урожайность, деление показывает, сколько единиц площади потребовалось для такого сбора: S = M ÷ u. Выбор действия зависит от того, какая величина неизвестна.
Единицы должны подходить друг к другу, иначе вычисление не описывает нужную ситуацию. Например, нельзя прямо умножить площадь в гектарах на урожайность в кг/м²: гектар и квадратный метр — разные единицы площади. Можно перевести гектары в квадратные метры или изменить урожайность на кг/га; также нужно следить, чтобы масса в данных и ответе была выражена одинаково. Помни, что 1 га = 10 000 м², а 1 ц = 100 кг.
Полученную зависимость удобно использовать не только для вычисления, но и для проверки. После нахождения неизвестной величины подставь её вместе с остальными данными в формулу M = S × u: должны получиться исходный общий урожай и согласованные единицы массы. В практической задаче результат также должен быть правдоподобным: при той же урожайности больший участок не может дать меньший сбор. Такая проверка помогает заметить ошибку в действии или переводе единиц.
| Что требуется найти | Известные величины | Действие | Единицы результата |
|---|---|---|---|
| Общий урожай | Площадь и урожайность | Площадь × урожайность | кг, ц, т |
| Площадь участка | Общий урожай и урожайность | Общий урожай ÷ урожайность | м², га |
| Урожайность | Общий урожай и площадь | Общий урожай ÷ площадь | кг/м², ц/га |
| Проверка согласованности единиц | Все величины задачи | Привести к совместимым единицам | Единицы массы и площади согласованы |
Найди в таблице строку с искомой величиной, а затем проверь, какие данные уже известны. Выполняй указанное действие только после того, как единицы площади и массы согласованы. В последней строке таблицы указана не отдельная величина для вычисления, а обязательная проверка перед расчётом.
Задача 1. С участка площадью 6 м² собрали 18 кг овощей. Найдём урожайность в кг/м². Общая масса уже известна, а вопрос просит узнать, сколько килограммов приходится на каждый квадратный метр. Значит, общий урожай нужно разделить на площадь.
Ответ: урожайность равна 3 кг/м². Единица получилась делением килограммов на квадратные метры, поэтому она соответствует вопросу. Проверка: 3 кг/м² × 6 м² = 18 кг — исходный сбор.
Задача 2. Урожайность картофеля составляет 3 кг/м², площадь участка — 24 м². Требуется найти массу картофеля со всего участка. На каждом квадратном метре получают по 3 кг, а таких квадратных метров 24. Поэтому нужно умножить урожайность на площадь, единицы площади при этом сокращаются.
Ответ: с участка соберут 72 кг картофеля. В записи м² сокращаются, поэтому результат измеряется в килограммах. Проверка обратным действием: 72 кг ÷ 24 м² = 3 кг/м².
Задача 3. С поля площадью 2 га собрали 48 ц зерна. Сколько центнеров соберут с поля площадью 3,5 га при той же урожайности? В задаче не дана масса с каждого гектара, поэтому сначала найдём её по первому полю. Поскольку обе площади выражены в гектарах, переводить их в квадратные метры не требуется.
Ответ: с поля площадью 3,5 га соберут 84 ц зерна. Проверим результат: новое поле в 3,5 ÷ 2 = 1,75 раза больше исходного, поэтому сбор тоже должен быть в 1,75 раза больше. 48 × 1,75 = 84 ц, значит, вычисление согласуется с условием.
При поиске урожайности иногда умножают общий урожай на площадь. Так поступают, если выбирают действие только по словам задачи, не проверяя, что именно требуется найти. Но умножение площади на урожайность даёт общий сбор, а урожайность находят делением M ÷ S. Для самопроверки посмотри на единицы: кг ÷ м² должно дать кг/м².
Другая ошибка — разделить площадь на общий урожай. Такое действие отвечает не на вопрос об урожайности: единицы м²/кг имеют другой смысл. Ошибка возникает, когда величины ставят в деление в случайном порядке. Проверь, какая масса приходится на одну единицу площади: масса должна быть делимым, а площадь — делителем.
Если площадь дана в гектарах, а урожайность — в килограммах на квадратный метр, нельзя подставлять числа без перевода единиц. Похожая проблема возникает, когда массу в центнерах смешивают с килограммами. Приведи площадь и массу к совместимым единицам до вычисления, затем проверь, что единица результата соответствует искомой величине.
Запись одного числа без единицы измерения тоже неполна: 24 может означать килограммы, центнеры или килограммы на квадратный метр. Иногда к числу приписывают единицу урожайности, хотя искали общий сбор. Перед тем как закончить задачу, назови искомую величину и сверь единицу с формулой: площадь × урожайность даёт массу, а масса ÷ площадь — урожайность.
Для решения задач о сборе урожая нужны умножение и деление величин, а также умение находить площадь прямоугольника по длине и ширине. Эти навыки помогают получить площадь посева и затем связать её с массой продукции. Ещё важно переводить единицы площади и массы, например гектары в квадратные метры, центнеры в килограммы.
Зависимость общего урожая от площади и урожайности относится к пропорциональным зависимостям: при неизменной урожайности увеличение площади во столько же раз увеличивает сбор. Та же идея применяется в задачах о расходе материалов, скорости работы и производительности. Во всех таких случаях полезно различать результат для одной единицы и результат для всей работы или участка.
Чем урожайность отличается от общего урожая?
Общий урожай — это вся масса продукции, собранной со всего участка. Урожайность показывает, сколько продукции приходится на единицу площади, например на 1 м² или 1 га.
Как найти общий урожай, если известны площадь и урожайность?
Умножь площадь участка на урожайность: общий урожай = площадь × урожайность. Проверь, что площадь выражена в тех же единицах, которые указаны в знаменателе единицы урожайности.
Как определить площадь участка по урожаю и урожайности?
Раздели общий урожай на урожайность. Например, если известно, сколько килограммов собирают с каждого квадратного метра, результат получится в квадратных метрах.
Что делать, если площадь дана в гектарах, а урожайность — в килограммах на квадратный метр?
Сначала приведи величины к совместимым единицам. Например, переведи гектары в квадратные метры или урожайность в килограммы на гектар, а затем выполняй вычисление.
Как проверить, что ответ в задаче о сборе урожая имеет правильные единицы?
Запиши единицы вместе с числами и выполни с ними те же действия, что и с величинами. При умножении площади на урожайность единица площади сокращается с м² или га в знаменателе, и остаётся единица массы.
Сбор урожая
