Вычитание суммы

Определения и обозначения

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи 20 − 10 = 10 оно стоит первым, слева от знака минус. Это число задаёт исходное количество, поэтому его удобно находить первым, когда нужно понять смысл разности.

Вычитаемое — число или выражение, которое вычитают из уменьшаемого. В записи 20 − 10 = 10 вычитаемое — число 10, а в записи 20 − (6 + 4) это сумма 6 + 4. Скобки помогают увидеть, что вычитается не одно число, а целое выражение.

Разность — результат вычитания, а также выражение, записанное с помощью знака −. Например, 20 − 10 — это разность, а её значение равно 10. Понимание этого слова помогает не путать само действие с ответом, который получился после вычисления.

Вычитание суммы — действие, при котором из числа вычитают сумму двух или нескольких слагаемых. В записи 20 − (6 + 4) уменьшаемое равно 20, а вычитаемое — сумма в скобках. Эту сумму можно найти заранее или вычесть её слагаемые по очереди.

Как это устроено

Запись 20 − (6 + 4) показывает, что из 20 нужно убрать сразу две части: 6 и 4. Сначала можно найти сумму в скобках: 6 + 4 = 10, а затем вычислить 20 − 10 = 10. Скобки нужны, чтобы ясно обозначить вычитаемую сумму и не принять плюс внутри неё за действие, которое выполняется после вычитания.

Вычитать сумму можно и по частям: 20 − (6 + 4) = 20 − 6 − 4. Сначала из 20 убираем 6 и получаем 14, затем из 14 убираем 4 и получаем 10. В общем виде это записывают так: a − (b + c) = a − b − c; знаки слагаемых не становятся плюсами, потому что каждое из них вычитается из исходного числа.

Правило можно обосновать обратным действием — сложением. Пусть разность равна a − b − c; если прибавить к ней оба слагаемых, получится (a − b − c) + b + c. Слагаемые −b и +b, а также −c и +c взаимно уничтожаются, поэтому остаётся a. Значит, найденная разность вместе с вычитаемой суммой восстанавливает уменьшаемое.

Правило особенно помогает, если слагаемые суммы по очереди вычитать легче, чем сначала складывать. Например, в выражении 70 − (19 + 21) можно сначала вычесть 21: получится 49, а затем вычесть 19 и получить 30. Такой порядок удобен, потому что 70 − 21 даёт число, из которого легко вычесть 19; допустимость такого выбора объясняется тем, что вычитаются те же самые слагаемые.

В выражениях с несколькими действиями сначала учитывают скобки, а затем выполняют действия по правилам порядка действий. Например, в выражении 50 − (8 + 2) + 3 сначала можно вычесть сумму: 50 − 8 − 2 = 40, а затем прибавить 3 и получить 43. Нельзя бездумно переносить слагаемые через знак плюс или минус: нужно сохранять исходный порядок действий и проверять, к какой части выражения относится каждый знак.

Вычитание суммы

Выбирай способ по выражению: если сумма в скобках легко находится, вычисли её первой; если удобнее вычитать частями, примени правило. Для проверки сложи полученную разность с вычитаемой суммой. Результат должен совпасть с уменьшаемым.

Разбор задач

Вычислите 18 − (5 + 3).

Здесь можно действовать двумя равноправными способами: сначала посчитать сумму или сразу вычесть её слагаемые. Чтобы увидеть, как работает правило, выберем второй способ. Скобки содержат сумму 5 + 3, поэтому из 18 нужно убрать и 5, и 3.

1. Запишем выражение без скобок по правилу вычитания суммы: 18 − 5 − 3.
2. Выполним вычитание слева направо: 18 − 5 = 13.
3. Вычтем оставшееся слагаемое: 13 − 3 = 10.

Ответ: 10. Проверка показывает, что 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18, то есть исходное уменьшаемое восстановилось.

Вычислите удобным способом 70 − (19 + 21).

Можно сначала сложить числа в скобках, но тогда получится 40, а потом нужно считать 70 − 40. Попробуем вычитать слагаемые по очереди и выбрать такой порядок, чтобы промежуточное вычисление было простым. Число 21 удобно вычесть первым: 70 − 21 даёт 49.

1. По правилу заменим вычитание суммы последовательным вычитанием: 70 − 19 − 21.
2. Вычтем 21 первым, переставив порядок вычитания слагаемых: 70 − 21 = 49.
3. Вычтем оставшееся число: 49 − 19 = 30.

Ответ: 30. Проверим сложением: 30 + (19 + 21) = 30 + 40 = 70. Значит, выбранный порядок не изменил результат и помог получить ответ удобным счётом.

Вычислите 120 − (38 + 27 + 22), выбрав удобный порядок вычитания.

В скобках три слагаемых, и их можно вычитать последовательно. Для удобства сначала выберем 38 и 22: вместе они дают 60, а вычитание 60 из 120 особенно просто. Число 27 останется вычесть после этого.

1. Раскроем скобки по правилу: 120 − 38 − 27 − 22.
2. Вычтем сначала 38, затем 22: 120 − 38 = 82, а 82 − 22 = 60.
3. Вычтем последнее слагаемое: 60 − 27 = 33.

Ответ: 33. Для проверки сложим вычитаемые: 38 + 27 + 22 = 87, а затем прибавим эту сумму к разности: 33 + 87 = 120. Так мы убедились, что вычисления верны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — неверно меняют знаки при раскрытии скобок и записывают, например, a − (b + c) как a − b + c. Её допускают, потому что замечают минус перед скобками, но забывают, что он относится ко всей сумме. Проверь себя обратным действием: прибавь вычитаемую сумму к полученному результату; если исходное число не восстановилось, ищи ошибку.

Вторая ошибка — считают, что достаточно вычесть только первое слагаемое, а второе оставить со знаком плюс. Но вычитается вся сумма, поэтому каждое её слагаемое нужно убрать из уменьшаемого. Чтобы проверить запись, разверни её в действия: из числа сначала убирают одно слагаемое, затем другое.

Третья ошибка — убирают скобки, не учитывая знак перед ними. Скобки могут обозначать именно то выражение, которое вычитается целиком, поэтому пропуск минуса меняет значение примера. Перед раскрытием спроси себя, какой знак стоит непосредственно перед скобками, а затем проверь равенство вычислением обеих частей.

Четвёртая ошибка — применяют правило вычитания суммы, хотя в скобках стоит разность, например a − (b − c). Здесь внутри скобок не сложение двух слагаемых, а вычитание, поэтому правило a − (b + c) напрямую не подходит. Сначала внимательно определи действие в скобках и проверь преобразование подстановкой простых чисел.

Связь с другими темами

Для работы с вычитанием суммы нужно понимать смысл сложения и вычитания, а также различать уменьшаемое, вычитаемое и разность. Выбор удобного порядка связан с переместительным и сочетательным свойствами сложения: они помогают сгруппировать слагаемые и упростить счёт. Это правило пригодится в устных и письменных вычислениях, при преобразовании выражений и решении уравнений, где вычитание суммы позволяет заменить одну запись равносильной ей.

Что запомнить

• Чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое по очереди.
• a − (b + c) = a − b − c.
• Минус перед скобками относится ко всем слагаемым внутри них.
• При раскрытии скобок после знака минус знаки слагаемых меняются на вычитание.
• Результат можно проверить, прибавив вычитаемую сумму к разности.