Числовое выражение со скобками

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Если выполнить указанные действия, получится значение выражения. Это понятие нужно, чтобы коротко записывать вычисления и различать саму запись и результат её вычисления.

Скобки — знаки «(» и «)», которыми выделяют часть выражения. Сначала находят значение заключённой в них части, а уже затем выполняют действия снаружи. Скобки помогают явно показать порядок вычислений, например когда сначала нужно сложить несколько величин, а потом умножить сумму.

Порядок действий — правило, определяющее, в какой последовательности вычислять выражение. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание; действия одинаковой ступени выполняют слева направо. Это правило нужно, чтобы разные люди получили один и тот же результат, читая одну и ту же запись.

Как это устроено

Скобки выделяют часть вычисления, которую нужно рассматривать как единое целое. Поэтому сначала находят значение внутри скобок: действия за их пределами пока не выполняют, даже если там стоит умножение. Например, в выражении 5 · (7 + 2) сначала получают сумму 7 + 2, а затем умножают её на 5. Если бы выполнить умножение раньше, мы изменили бы смысл записи и получили бы другое число.

Если скобок несколько и одни находятся внутри других, начинают с самой глубокой пары. Внутреннее выражение нужно вычислить, чтобы заменить его результатом; после этого можно переходить к следующей паре. Так запись постепенно упрощается, а каждое действие опирается на уже найденные числа. Например, в 4 · (3 + (8 − 6)) сперва вычисляют 8 − 6, затем сумму 3 + 2, а потом умножение на 4.

После вычислений в скобках действуют правила для выражения без скобок. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют по порядку слева направо. Сложение и вычитание тоже имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо, но только после умножения и деления. Это важно потому, что нельзя считать, будто умножение всегда выполняется раньше деления или сложение раньше вычитания.

По мере вычисления удобно переписывать выражение, заменяя уже выполненную часть её значением. Такая запись показывает, какое действие сделано, и помогает не потерять остальные части выражения. Например, 18 + (12 − 4) : 2 превращается сначала в 18 + 8 : 2, потом в 18 + 4 и наконец в 22. Если действий много, отдельные строки особенно полезны: по ним легче найти место, где могла появиться ошибка.

Скобки не являются отдельным арифметическим действием и не меняют числа внутри себя. Они только задают, какую часть вычислить первой. Поэтому после вычисления скобок их значение подставляют вместо всей заключённой части и продолжают по обычным правилам. Если в скобках уже нет действий, а осталось одно число, вычисление этой части завершено.

Порядок выполнения действий

Таблица помогает определить, какое действие выполнять следующим. Сначала проверь, остались ли скобки, и только после этого учитывай ступени действий. Если на одной ступени несколько действий, двигайся по записи слева направо. После каждого шага перепиши выражение с полученным результатом.

Разбор задач

Задача. Вычислим значение выражения 72 − (15 + 9) : 3 · 2. Здесь есть скобки, деление, умножение и вычитание, поэтому важно не ориентироваться только на то, какое действие кажется проще. Сначала выделим действие, которое по правилу должно быть выполнено раньше остальных. Затем будем упрощать запись шаг за шагом.

1. Сначала вычислим выражение в скобках: 15 + 9 = 24. Скобки нужно выполнить первыми, потому что они объединяют слагаемые, а результат этой суммы дальше делится и умножается. Получаем 72 − 24 : 3 · 2.

2. Теперь найдём действие самой высокой оставшейся ступени: это деление и умножение. Они равноправны, поэтому начинаем с того, которое записано левее: 24 : 3 = 8. Запись становится такой: 72 − 8 · 2.

3. Продолжаем выполнять умножение и деление слева направо. Осталось умножение 8 · 2 = 16, значит теперь имеем 72 − 16. Вычитание нельзя было выполнять раньше умножения, потому что оно относится к следующей ступени порядка действий.

4. Выполняем последнее действие: 72 − 16 = 56. Мы заменяли каждый раз только уже вычисленную часть, поэтому порядок остальных действий сохранился. Значение выражения найдено.

Ответ: 56. Проверить ход решения можно по цепочке 72 − (15 + 9) : 3 · 2 = 72 − 24 : 3 · 2 = 72 − 8 · 2 = 72 − 16 = 56. В каждой строке выполнено одно действие или одна часть выражения в скобках. Такая проверка помогает заметить, если какое-то действие было выполнено не в своей очереди.

Типичные ошибки

Ошибка: начать с действия вне скобок. Так бывает, когда ученик замечает умножение или деление и забывает, что скобки стоят раньше. В результате меняется порядок вычислений и значение выражения. Проверь себя: прежде чем считать, найди все скобки и убедись, что сначала вычислил их содержимое.

Ошибка: считать умножение раньше деления всегда. Эти действия равноправны, поэтому решает их расположение в записи. Например, в 24 : 3 · 2 сначала нужно разделить 24 на 3, а не умножать 3 на 2. Проверка простая: среди оставшихся умножений и делений выбери самое левое.

Ошибка: выполнять сложение раньше вычитания или наоборот. Сложение и вычитание также имеют одинаковый приоритет, и их выполняют слева направо. Если перескочить через первое действие, можно получить неверный результат. Чтобы проверить себя, отмечай первое слева действие нужной ступени и заменяй только его результатом.

Ошибка: потерять часть выражения при переписывании. При длинной записи легко пропустить знак или число, особенно после вычисления скобок. Сравнивай каждую новую строку с предыдущей: меняется только та часть, которую ты только что вычислил. Если скобки пусты не заменены результатом или исчезло другое слагаемое, вычисления нужно перепроверить.

Связь с другими темами

Порядок действий со скобками опирается на знание сложения, вычитания, умножения и деления. Если уверенно выполнять эти действия, проще сосредоточиться на последовательности вычислений, а не на самих вычислениях. Это правило понадобится и при решении задач, где выражение помогает записать несколько шагов одним способом.

Скобки встречаются в формулах и буквенных выражениях, где вместо чисел используют буквы. Сначала вычисляют или преобразуют заключённую часть, соблюдая те же правила порядка действий. Навык аккуратно вычислять выражения также пригодится при проверке ответов и при работе с дробями и более сложными вычислениями.

Что запомнить

• Скобки показывают, какую часть выражения нужно вычислить первой.
• Во вложенных скобках начинают с самых внутренних.
• После скобок выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Записывай промежуточные результаты и проверяй, что при переписывании не потерялись числа и знаки.