"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий, а скобки помогают показать, какие вычисления нужно выполнить раньше. Чтобы найти значение выражения, важно учитывать не только порядок записи, но и правила порядка действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Эти правила помогают получать верный результат и записывать вычисления понятно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 12 − 3 · 2 и (12 − 3) · 2 — разные выражения, потому что скобки задают разный порядок вычислений. Это понятие нужно, чтобы коротко записывать вычисления и понимать, какие действия предстоит выполнить.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 12 − 3 · 2 равно 6, потому что сначала выполняют умножение. Значение помогает сравнивать выражения и применять их при решении практических задач.
Порядок действий — правила, по которым определяют, какое действие выполнять первым, вторым и далее. Сначала вычисляют в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание. Эти правила нужны, чтобы разные люди одинаково понимали одну и ту же запись.
Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и показывают, что её нужно вычислить раньше действий вне скобок. В выражении 20 − (6 + 2) сначала находят сумму в скобках. Скобки позволяют изменить обычную последовательность вычислений и точно передать смысл задачи.
Если в выражении есть скобки, начинают с вычислений внутри них. Это правило действует потому, что скобки объединяют числа в отдельную часть: сначала находят её результат, а затем используют его в оставшемся выражении. Например, в записи 30 − (8 + 2) нужно сперва получить 10, и только потом вычитать. Если скобки вложены одна в другую, первой вычисляют самую внутреннюю пару.
После скобок выполняют умножение и деление, если они есть. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому при нескольких умножениях и делениях их выполняют по порядку слева направо. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а затем умножают результат на 2. Нельзя считать умножение всегда раньше деления: решает их расположение в записи.
Сложение и вычитание выполняют после умножения и деления. Они тоже имеют одинаковый приоритет, поэтому идут слева направо: в выражении 15 − 6 + 2 сначала вычитают 6, а затем прибавляют 2. Такой порядок нужен, чтобы не менять смысл выражения произвольным выбором действия. Если сложение или вычитание заключено в скобки, его выполняют раньше действий вне скобок.
Когда в выражении есть действия разных уровней, удобно сначала отметить их очередность, а затем вычислять по одному действию. Так промежуточная запись показывает, что именно изменилось, и помогает заметить ошибку. Например, 5 + 3 · 4 превращается сначала в 5 + 12, а затем в 17. Скобки могут изменить результат: (5 + 3) · 4 равно 32, потому что сначала складывают числа в скобках.
Если в выражении нет скобок и действий более высокого приоритета, действия выполняют слева направо. Например, в 28 − 9 − 4 сначала получают 19, затем 15. Нельзя сначала вычесть 9 − 4: это означало бы изменить запись и получить другое выражение. При вычислениях полезно сохранять исходный порядок чисел и знаков, меняя только уже выполненное действие на его результат.
| Ситуация | Что выполнять | Пример |
|---|---|---|
| Есть скобки | Сначала действия внутри скобок | 7 · (5 + 1) |
| Есть умножение или деление | Выполнять раньше сложения и вычитания, слева направо | 18 − 12 : 3 |
| Остались сложение и вычитание | Выполнять слева направо | 20 − 6 + 2 |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, затем найди умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Действия одинакового приоритета выполняй слева направо. После каждого шага записывай промежуточный результат, чтобы не потерять порядок.
Задача. Вычисли значение выражения 36 − 4 · (5 + 2) + 6 : 3. Здесь одновременно есть скобки, умножение, деление, вычитание и сложение. Чтобы не выполнить действия наугад, сначала расставим их по правилам порядка действий. Ответ проверим, подставляя результаты последовательно в исходную запись.
Ответ: 10. Проверим ход решения: сумма в скобках равна 7, произведение — 28, частное — 2. Тогда исходная запись сводится к 36 − 28 + 2, и вычисление слева направо действительно даёт 10. Такая проверка помогает убедиться, что ни одно действие не было пропущено.
Сравним с выражением, где скобки стоят иначе: (36 − 4) · (5 + 2) + 6 : 3. Сначала получаем 32 и 7 в скобках, затем умножение и деление: 32 · 7 + 2 = 224 + 2 = 226. Результат отличается от 10, потому что скобки изменили состав действий, которые выполняются первыми. Поэтому при чтении выражения сначала обращай внимание на скобки, а не только на числа.
Ошибка: выполнять действия просто слева направо, не учитывая приоритет. Так часто делают, потому что взгляд движется по записи последовательно, но умножение и деление должны предшествовать сложению и вычитанию. Например, в 8 + 2 · 3 сначала нужно умножить 2 на 3, а не складывать 8 и 2. Проверь себя: подчеркни умножение и деление и убедись, что они выполнены раньше.
Ошибка: считать умножение всегда раньше деления или сложение раньше вычитания. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Например, 24 : 4 · 2 равно 12, а не 3: сначала делят 24 на 4, затем умножают результат на 2. Для проверки отметь порядок действий прямо над знаками или вычисляй по одному действию.
Ошибка: не начинать со скобок. Скобки могут содержать сложение или вычитание, которое обычно выполнялось бы после умножения, поэтому легко перенести привычный порядок на всю запись. В выражении 3 · (4 + 2) сначала находят сумму 6, а затем умножают на 3. Перед вычислением проверь, не осталась ли в записи пара скобок с невыполненными действиями.
Ошибка: менять выражение при переписывании промежуточного результата. Например, можно потерять знак или число и получить уже другую запись. Такая невнимательность возникает, когда несколько действий пытаются выполнить сразу в уме. Записывай каждый шаг отдельно и сверяй, что все невыполненные числа и знаки сохранены.
Порядок действий нужен при вычислении значений выражений с натуральными числами, дробями и десятичными числами: правила остаются теми же. Скобки встречаются и в буквенных выражениях, где вместо чисел записаны буквы, например a · (b + c). Понимание порядка вычислений помогает правильно подставлять числа вместо букв и упрощать такие записи. Эти навыки также пригодятся при решении задач, когда несколько действий объединены в одно выражение.
Выражения со скобками и без скобок
