"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Периметр — это длина границы многоугольника, которую находят, складывая длины всех его сторон. Он помогает узнать, например, сколько материала понадобится для ограды вокруг участка или рамки вокруг картины. У прямоугольника можно сложить длины двух соседних сторон и умножить сумму на 2, а у квадрата — длину стороны на 4. Чтобы вычисления были верными, все длины сначала выражают в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — замкнутая фигура, составленная из отрезков. Отрезки, из которых состоит такая фигура, называются её сторонами. Это определение помогает отличить многоугольник от фигуры с изогнутой границей и понять, какие части нужно измерять.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Чтобы найти его, нужно мысленно обойти фигуру по контуру и сложить длину каждого отрезка. Так можно узнать общую длину границы, например, сколько ленты понадобится, чтобы обвести фигуру.
Периметр прямоугольника — сумма длин его четырёх сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют одну длину, а две другие — другую. Поэтому для вычисления периметра достаточно знать длины двух соседних сторон, а не измерять все четыре.
Периметр квадрата — сумма длин его четырёх равных сторон. Если длина одной стороны равна a, то периметр равен a + a + a + a, или 4a. Это удобно, когда нужно быстро найти общую длину границы квадрата по одному измерению.
Периметр измеряет длину границы фигуры, поэтому при его нахождении складывают длины сторон, идущих по контуру. Если пропустить сторону, часть границы не попадёт в результат, а если посчитать одну сторону дважды, ответ окажется больше нужного. Полезно отмечать уже учтённые стороны или последовательно обходить фигуру в одном направлении. Так проще проверить, что каждая сторона вошла в сумму ровно один раз.
Складывать можно только длины, выраженные в одинаковых единицах измерения. Например, сумма 2 м и 30 см не означает 32 единицы: сначала нужно перевести метры в сантиметры или сантиметры в метры. Причина в том, что числа 2 и 30 обозначают разные по размеру единицы. После перевода можно складывать значения и записать ответ в выбранной единице.
Пусть соседние стороны прямоугольника имеют длины a и b. Противоположная сторона длины a равна первой, а противоположная сторона длины b равна второй, поэтому сумма всех сторон записывается как a + b + a + b. Переставим слагаемые и сгруппируем равные: (a + a) + (b + b) = 2a + 2b = 2(a + b). Значит, формула P = 2(a + b) учитывает все четыре стороны, хотя в ней используются только две длины.
У квадрата все стороны имеют одинаковую длину a. При сложении получается a + a + a + a, то есть четыре одинаковых слагаемых. Умножение 4 × a короче записывает эту сумму, поэтому периметр квадрата равен P = 4a. Число 4 появляется потому, что у квадрата четыре стороны.
Если периметр известен, а одна сторона неизвестна, можно использовать смысл периметра: из общей длины границы вычесть длины уже известных сторон. Для прямоугольника удобнее сначала записать P = 2(a + b), а затем подставить известные числа и найти неизвестное. Полученную длину проверяют: подставляют её в формулу или складывают стороны. Если исходный периметр восстановился, вычисление согласуется с условием.
| Фигура | Что известно | Формула периметра |
|---|---|---|
| Многоугольник | Длины всех сторон | P = сумма длин всех сторон |
| Треугольник | Длины трёх сторон | P = a + b + c |
| Прямоугольник | Длины двух соседних сторон | P = 2(a + b) |
| Квадрат | Длина одной стороны | P = 4a |
Сначала определи, к какой фигуре относится задача, и найди, какие длины даны. Затем выбери соответствующую строку таблицы и подставь значения в формулу. Проверь, что единицы измерения одинаковы, а ответ записан в единицах длины.
Задача 1. Найти периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. У треугольника три стороны, и ни одна из этих длин не повторяется по условию, поэтому нужно сложить все три числа. Все измерения уже даны в сантиметрах, переводить единицы не требуется.
Ответ: 16 см. Периметр получился больше длины каждой отдельной стороны, что соответствует общей длине контура.
Задача 2. Найти периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 3 см. Это длины двух соседних сторон, а не всех четырёх. У прямоугольника есть ещё две стороны такой же длины, поэтому сумму 8 + 3 нужно учесть дважды.
Ответ: 22 см. Для проверки можно сложить четыре стороны отдельно: 8 + 3 + 8 + 3 = 22 см.
Задача 3. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 10 см. Нужно найти длину соседней стороны, обозначим её b. Поскольку известна только одна из двух разных длин, нельзя просто вычесть 10 из периметра: в контуре сторона длины 10 см встречается дважды.
Ответ: другая сторона равна 7 см. Проверка показывает, что найденная длина вместе с известной стороной даёт заданный периметр.
Иногда у прямоугольника складывают только две разные стороны и получают полусумму периметра. Так происходит, потому что внимание сосредоточено на двух известных длинах, а равные им противоположные стороны забывают. Нужно умножить сумму соседних сторон на 2 или сложить все четыре стороны отдельно. Проверка: в записи должны присутствовать две стороны каждой длины.
У квадрата могут умножить длину стороны на 2, приняв за периметр сумму двух разных длин, как у прямоугольника. Но у квадрата четыре стороны, и все они имеют одинаковую длину. Поэтому сторону нужно умножить на 4. Для проверки можно записать сумму a + a + a + a и сравнить её с выражением 4a.
Ошибка возникает и тогда, когда складывают величины в разных единицах, например метры и сантиметры без перевода. Числа в такой записи относятся к разным единицам, поэтому их нельзя складывать как однородные слагаемые. Сначала переведи все длины в сантиметры, метры или другую общую единицу. Затем проверь, что у каждого слагаемого одна и та же единица измерения.
Периметр иногда записывают в квадратных единицах, например в см², по привычке после задач о площади. Однако периметр — это длина границы, а не размер поверхности, поэтому для него подходят линейные единицы: мм, см, м. Проверь, что в ответе нет значка квадрата. Если стороны измерялись в сантиметрах, периметр обычно выражают в сантиметрах.
Чтобы вычислять периметр, нужно уметь измерять и складывать длины, а также переводить сантиметры, метры и другие единицы. Эти навыки помогают правильно подготовить данные до вычисления. Если единицы уже одинаковы, можно сразу применять формулу или складывать стороны.
Периметр используется в практических задачах о длине ограды, рамки или маршрута вокруг участка. В таких случаях нужно определить, какую границу предстоит пройти или закрыть, и найти её общую длину. Это помогает рассчитать необходимое количество материала или длину пути.
Периметр связан с площадью: обе величины описывают фигуру, но отвечают на разные вопросы. Периметр относится к границе, а площадь — к внутренней части фигуры. Поэтому для периметра складывают стороны, а площадь находят по правилам, подходящим для конкретной фигуры.
Почему периметр находят сложением длин сторон?
Периметр показывает общую длину границы фигуры. Если пройти по её контуру, придётся пройти каждую сторону, поэтому складывают длины всех сторон.
Нужно ли учитывать каждую сторону прямоугольника отдельно?
Можно сложить длины всех четырёх сторон. Но у прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому достаточно сложить длины двух соседних сторон и удвоить результат.
Как найти периметр прямоугольника, если известны только две соседние стороны?
Сложите длины соседних сторон и умножьте сумму на 2: P = 2(a + b). Умножение учитывает, что каждая из этих длин встречается у прямоугольника дважды.
В каких единицах записывают периметр?
Периметр записывают в единицах длины: например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Если складываются величины в разных единицах, сначала переведите их в одну единицу.
Как найти неизвестную сторону, если известен периметр?
Вычтите из периметра длины известных сторон, учитывая, сколько раз они входят в контур. Для прямоугольника можно записать P = 2(a + b), подставить известные значения и решить равенство относительно неизвестной стороны. Проверьте результат, подставив его обратно и сложив стороны.
Вычисление периметра
