"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Периметр прямоугольника — это длина его границы, то есть сумма четырёх сторон. Он нужен, например, чтобы узнать, сколько материала понадобится для ограды, рамки или края площадки. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому достаточно знать длину и ширину: их складывают и результат удваивают. Формула P = 2(a + b) помогает не только вычислить периметр, но и найти неизвестную сторону, если известен периметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые; у него противоположные стороны равны. Иными словами, у каждой пары сторон, расположенных напротив друг друга, одинаковая длина. Это свойство позволяет не измерять все четыре стороны отдельно, когда нужно вычислить периметр.
Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон; его обозначают буквой P. Периметр показывает, какова длина границы фигуры, если пройти по ней по кругу. Это понятие используют в задачах о бордюрах, оградах и рамках, где нужно узнать общую длину края.
Длина и ширина прямоугольника — длины двух соседних сторон; обычно их обозначают a и b. Например, a может обозначать более длинную сторону, а b — более короткую, хотя для вычисления формулы это не обязательно. Эти обозначения помогают записать правило кратко и подставить в него известные числа.
Чтобы найти периметр, складывают длины четырёх сторон: P = a + b + a + b. Сумма нужна потому, что периметр измеряет всю границу, а не только два соседних края. В этой записи длина a встречается дважды, и ширина b тоже встречается дважды. Поэтому нельзя ограничиться сложением только a и b.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому две стороны имеют длину a, а две другие — длину b. В сумме P = a + b + a + b одинаковые слагаемые можно объединить: a + a = 2a, а b + b = 2b. Так получается запись P = 2a + 2b. Она показывает, сколько раз каждая из двух известных длин входит в границу.
В выражении 2a + 2b у обоих слагаемых есть общий множитель 2. Если вынести его за скобки, получится формула P = 2(a + b). Сначала в скобках складывают длину и ширину, то есть находят сумму двух соседних сторон. Затем удваивают эту сумму, потому что у прямоугольника есть ещё одна пара таких же сторон.
Формула показывает, что периметр зависит от обеих сторон прямоугольника. Если увеличить длину, не меняя ширину, изменится и сумма a + b, а значит, изменится периметр. То же верно при изменении ширины. Поэтому для вычисления недостаточно знать только одну сторону, если никакие дополнительные сведения не даны.
Если известны периметр P и одна сторона, вторую находят из равенства P = 2(a + b). Сначала делят P на 2: результат равен сумме соседних сторон, потому что периметр состоит из двух одинаковых пар. Затем из этой суммы вычитают известную сторону. Например, если известна длина a, то b = P / 2 − a.
| Что известно | Формула или действие | Что можно найти |
|---|---|---|
| Длина a и ширина b | P = 2(a + b) | Периметр P |
| Периметр P и длина a | b = P / 2 − a | Ширину b |
| Периметр P и ширина b | a = P / 2 − b | Длину a |
Сначала найди в таблице строку, в которой перечислены известные данные. Затем используй формулу из среднего столбца и проверь, что обозначения совпадают с условием задачи. Если известны периметр и сторона, выполняй действия по порядку: деление на 2, затем вычитание.
Длина прямоугольника 8 см, ширина 5 см. Найдите его периметр. Из условия известны обе соседние стороны, поэтому подходит формула P = 2(a + b). Складываем длины и удваиваем сумму: так учитываем обе стороны каждого размера.
Полученное значение выражено в сантиметрах, потому что складывали длины в сантиметрах. Ответ: периметр прямоугольника равен 26 см.
Периметр прямоугольной площадки равен 34 м, а одна сторона — 11 м. Найдите другую сторону. Здесь известна общая длина границы и одна сторона, поэтому сначала нужно определить сумму соседних сторон. Половина периметра равна этой сумме, а не длине одной стороны.
Проверим результат: 2(11 + 6) = 2 · 17 = 34 м, что совпадает с условием. Значит, вычисление верно. Ответ: другая сторона площадки равна 6 м.
Периметр прямоугольника равен 30 см, а длина на 3 см больше ширины. Найдите стороны. Сначала найдём сумму соседних сторон: она равна половине периметра. Затем обозначим ширину через b, а длину выразим как b + 3, поскольку она на 3 см больше.
Проверка: стороны 6 см и 9 см дают периметр 2(6 + 9) = 30 см, а длина на 3 см больше ширины. Оба условия выполнены. Ответ: ширина равна 6 см, длина — 9 см.
Иногда складывают только длину и ширину и считают, что a + b — это периметр. Так находят лишь сумму двух соседних сторон, потому что у прямоугольника есть ещё одна такая же пара. Ошибка часто возникает из-за того, что в условии указаны только два разных числа. Проверь себя: запиши все четыре стороны или используй P = 2(a + b).
Запись P = 2a + b неверна: в ней удвоена длина, но ширина учтена только один раз. Так бывает, когда забывают, что у прямоугольника две стороны каждой длины. Для проверки сравни запись с суммой четырёх сторон a + b + a + b. После объединения одинаковых слагаемых должно получиться P = 2a + 2b.
Если длина дана в метрах, а ширина — в сантиметрах, нельзя сразу складывать числовые значения. В таком случае единицы неодинаковые, а одно и то же число сантиметров и метров означает разные длины. Перед подстановкой переведи обе величины, например, в сантиметры. Проверь, что все числа в одной формуле выражены в одинаковых единицах.
При поиске неизвестной стороны иногда вычитают известную сторону из всего периметра. Но P включает четыре стороны, а после деления на 2 получается сумма именно двух соседних сторон. Поэтому сначала найди P / 2, а уже затем вычитай известную длину или ширину. Проверка по формуле P = 2(a + b) покажет, верно ли найден ответ.
Чтобы работать с периметром прямоугольника, нужно уметь находить периметр многоугольника как сумму длин его сторон и знать свойства прямоугольника. Эти знания объясняют, почему можно пользоваться двумя соседними сторонами вместо всех четырёх. Формула пригодится в практических задачах о длине ограды, рамки или границы участка. Периметр связан с площадью прямоугольника, но описывает другое: длину границы, а не размер внутренней части.
Почему в формуле периметра прямоугольника есть множитель 2?
У прямоугольника две стороны длины a и две стороны длины b. Поэтому сумма всех сторон равна a + b + a + b, или 2(a + b).
Чем периметр прямоугольника отличается от его площади?
Периметр показывает длину границы прямоугольника и измеряется единицами длины, например сантиметрами. Площадь показывает размер его внутренней части и измеряется квадратными единицами, например квадратными сантиметрами.
Как найти неизвестную сторону прямоугольника, если известны периметр и другая сторона?
Раздели периметр на 2: так получишь сумму двух соседних сторон. Затем вычти из этой суммы известную сторону.
Можно ли найти периметр, если известна только одна сторона прямоугольника?
Обычно нельзя: одной стороны недостаточно, чтобы узнать длину другой. Периметр можно найти, если дополнительно известно значение второй стороны или соотношение между сторонами.
Что делать, если длина и ширина заданы в разных единицах?
Сначала переведи обе величины в одинаковые единицы, например в сантиметры или метры. После этого подставляй их в формулу периметра.
Периметр прямоугольника
