Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек на плоскости или в пространстве. Фигуру можно воспринимать как единое целое, например треугольник, или рассматривать как совокупность всех точек, из которых она состоит. Такой взгляд помогает описывать расположение фигур и их частей.

Точка — основная геометрическая фигура, у которой нет размеров. На рисунке её обычно показывают маленькой отметкой, а рядом ставят заглавную латинскую букву: A, B или C. Отметка нужна, чтобы видеть точку на бумаге, но сама точка не имеет ни длины, ни ширины.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. Её обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами точек на ней, например прямой AB. На листе можно провести только часть прямой, поэтому рисунок условно передаёт её продолжение.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка, а его длина обозначает расстояние между ними. Отрезок с концами A и B обозначают AB или BA, а длину записывают, например, так: AB = 5 см.

Как это устроено

Фигуры задают через точки, потому что точки позволяют точно описать, где находится каждый участок фигуры. Если точка расположена внутри фигуры или на её границе, говорят, что она принадлежит этой фигуре. Например, точка пересечения двух прямых принадлежит обеим прямым, а точка вне круга ему не принадлежит. Благодаря этому можно говорить о фигурах независимо от того, как именно они нарисованы.

Две различные точки определяют одну прямую: если провести линию через обе точки, другой прямой, проходящей через те же точки, уже не получится. Это правило позволяет задавать прямую не приблизительным направлением, а конкретно — по двум её точкам. Изобразить всю прямую невозможно, так как она бесконечна, а лист конечен. Поэтому проводят лишь её часть, мысленно продолжая линию за края рисунка.

Чтобы получить отрезок, на прямой отмечают две точки и рассматривают только часть линии между ними. Отмеченные точки становятся концами, поэтому отрезок имеет определённую длину и его можно измерить линейкой. Длину записывают числом с единицей измерения, например AB = 6 см. Обозначения AB и BA называют один и тот же отрезок: порядок букв не меняет его концов.

Главное различие прямой и отрезка связано с концами. Прямая продолжается без конца в обе стороны, поэтому у неё нельзя указать крайние точки или измерить её полную длину. У отрезка концы заданы, и расстояние между ними можно выразить положительным числом. На чертеже полезно проверять, отмечены ли у линии две граничные точки.

Фигуры распознают не только по внешнему виду, но и по составу и взаимному расположению. Можно выяснить, какие точки лежат на линии, где фигуры пересекаются и какие отрезки соединяют отмеченные точки. Такое описание помогает сравнивать рисунки и переходить от простых фигур к сложным. Например, многоугольник можно описать через его вершины и отрезки, соединяющие соседние вершины.

Сравнение основных геометрических фигур

Сначала найдите, что именно задано: отдельная точка, бесконечная линия или её ограниченная часть. Затем проверьте, есть ли у линии отмеченные концы и как названы её точки. Таблица помогает быстро сравнить фигуры и выбрать подходящее обозначение.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте точки A и B и назовите прямую, проходящую через них. Точки должны быть различными, иначе по ним нельзя задать направление прямой. Чтобы назвать прямую, используют буквы обеих точек.

1. Найдём на рисунке точки A и B и убедимся, что они не совпадают.
2. Мысленно или линейкой проведём через них линию, продолжая её в обе стороны.
3. Обозначим полученную прямую буквами A и B.

Ответ: прямая AB. Через эти две точки проходит только одна прямая, поэтому другого ответа быть не может.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C. Перечислите отрезки, концы которых находятся в этих точках. Каждый отрезок определяется парой концов, поэтому нужно рассмотреть все возможные пары. Повторять одну пару в обратном порядке не следует, так как AB и BA — один отрезок.

1. Соединим точку A с точкой B: получим отрезок AB.
2. Соединим A с C: получим отрезок AC.
3. Соединим B с C: получим отрезок BC.

Ответ: AB, AC и BC. Других отрезков с концами только в этих трёх точках нет, поскольку каждая пара уже учтена.

Задача 3. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Известно, что AB = 4 см, а BC = 3 см. Чтобы найти расстояние от A до C, нужно соединить две части, на которые точка B разделила весь отрезок.

1. Запишем свойство: если B лежит между A и C, то AC = AB + BC.
2. Подставим известные длины: AC = 4 + 3.
3. Вычислим сумму и сохраним единицу измерения: AC = 7 см.

Ответ: AC = 7 см. Проверка проста: весь отрезок должен быть длиннее каждой из своих частей, и 7 см больше и 4 см, и 3 см.

Типичные ошибки

Иногда считают, что прямая на рисунке имеет концы. Так происходит потому, что видимая линия заканчивается у края листа или у стрелок. Но лист ограничен, а сама прямая бесконечна, поэтому рисунок показывает лишь её часть. Проверьте себя: у прямой не отмечают две конечные точки, ограничивающие её длину.

Прямую могут путать с отрезком, поскольку обе фигуры изображают линией. Различие не во внешнем виде, а в том, есть ли границы: у отрезка два конца, у прямой их нет. Чтобы проверить обозначение, посмотрите, выделена ли только часть линии между концами. Если длину можно измерить как расстояние между двумя заданными концами, речь идёт об отрезке.

Заметную точку на рисунке иногда принимают за объект с размером. Её рисуют крупнее лишь для того, чтобы отметку было хорошо видно, ведь идеальную точку невозможно различить на листе. В геометрии у точки нет длины и ширины. Проверить себя можно так: если рассуждение приписывает точке измеряемый размер, значит, размер рисунка перепутан с самой точкой.

Некоторые считают AB и BA разными отрезками, потому что буквы записаны в обратном порядке. Однако обе записи указывают на одни и те же концы, а значит, обозначают один отрезок. Такая ошибка возникает, когда порядок букв принимают за направление движения. Для проверки назовите концы: если это те же A и B, перед вами тот же отрезок.

Связь с другими темами

Для работы с точками и линиями нужно различать буквы, которыми подписаны точки, и внимательно находить их на рисунке. Это умение помогает правильно читать геометрические записи и не смешивать разные объекты. Прямые и отрезки станут основой для изучения углов и многоугольников. Длина отрезка понадобится, когда нужно измерять расстояния и сравнивать размеры фигур.

Что запомнить

• Геометрические фигуры состоят из точек.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длина отрезка — положительное число.
• Если точка B лежит между A и C, то AC = AB + BC.