Порядок действий

Определения и обозначения

Порядок действий — правила, по которым определяют, в какой последовательности выполнять действия в числовом выражении. Он нужен потому, что разные действия могут давать разные результаты при перестановке шагов. Соблюдение этих правил делает вычисление однозначным и правильным.

Действия первой ступени — сложение и вычитание. Если в выражении есть только такие действия, их выполняют по порядку слева направо. Это помогает не менять исходную последовательность чисел и знаков.

Действия второй ступени — умножение и деление. Если выражение содержит только их, вычисления тоже ведут слева направо. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что они образуют более высокий уровень вычислений.

Скобки — знаки, которые задают действия, выполняемые в первую очередь. Сначала рассматривают внутренние скобки, а затем используют найденный результат дальше. Скобки позволяют изменить обычную последовательность вычислений.

Как это устроено

Если в выражении есть действия разных ступеней, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Например, в записи 7 + 4 · 3 сначала находят произведение 4 · 3, потому что оно относится ко второй ступени. Только после этого к 7 прибавляют полученный результат.

Действия одной ступени выполняют слева направо, поскольку между ними нет дополнительного правила о преимуществе одного знака. В выражении 24 : 6 · 2 сначала выполняют деление, стоящее левее: 24 : 6 = 4. Затем находят произведение 4 · 2, поэтому деление не получает автоматически приоритета перед умножением.

Скобки изменяют обычную последовательность действий, потому что объединяют часть выражения в отдельный шаг. Сначала вычисляют значение выражения внутри скобок, даже если там есть сложение, которое обычно выполнялось бы позже. После этого найденное число подставляют вместо скобок и продолжают вычисления по общим правилам.

Если скобок несколько, начинают с самых внутренних, так как их результат нужен для вычисления внешних. Например, в выражении 2 · (5 + (7 − 3)) сначала находят 7 − 3, затем складывают полученное число с 5. Только после этого выполняют умножение на 2.

Чтобы не пропустить действие, удобно сначала отметить его номер, а затем записывать промежуточные результаты. На каждом шаге выполняют одно действие или одну группу действий одного уровня и получают более простое выражение. Такой способ позволяет увидеть, где возникла ошибка, и проверить решение по порядку.

Правила порядка действий

Сначала определите, есть ли в выражении скобки, и найдите самые внутренние из них. Затем просмотрите оставшиеся действия: сначала выполняются умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если знаки относятся к одной ступени, двигайтесь слева направо.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 18 − 6 : 3.

В выражении есть деление и вычитание, то есть действия разных ступеней. Деление относится ко второй ступени, поэтому его нужно выполнить раньше. После этого останется только действие первой ступени.

1. Выполняем деление: 6 : 3 = 2.
2. Подставляем результат в выражение: 18 − 2.
3. Выполняем вычитание: 18 − 2 = 16.

Ответ: 16. Если бы сначала выполнили вычитание, порядок действий был бы нарушен, потому что сложение и вычитание не опережают деление.

Задача 2. Вычислите 24 : 6 · 2 + 5.

Сначала нужно рассмотреть действия второй ступени: деление и умножение. Они стоят рядом и имеют одинаковый приоритет, поэтому начинают с деления, расположенного левее. Сложение выполняют только после завершения этих действий.

1. Выполняем левое действие второй ступени: 24 : 6 = 4.
2. Получаем выражение 4 · 2 + 5.
3. Выполняем умножение: 4 · 2 = 8.
4. Выполняем сложение: 8 + 5 = 13.

Ответ: 13. Нельзя сначала умножить 6 · 2, потому что знак деления расположен левее и действия одной ступени идут слева направо.

Задача 3. Вычислите 36 − (8 + 4) : 3 · 2.

В выражении есть скобки, деление, умножение и вычитание. Первым делом вычисляем сумму в скобках, затем выполняем деление и умножение слева направо. Вычитание оставляем на последний шаг.

1. Вычисляем скобки: 8 + 4 = 12.
2. Получаем выражение 36 − 12 : 3 · 2.
3. Выполняем деление: 12 : 3 = 4.
4. Выполняем умножение: 4 · 2 = 8.
5. Выполняем вычитание: 36 − 8 = 28.

Ответ: 28. Скобки не дают сразу вычислять всё выражение слева направо: сначала нужно заменить их содержимое найденным числом.

Типичные ошибки

Выполнять всё слева направо. Так поступают по привычке, но при этом сложение может оказаться раньше умножения или деления. Проверьте себя: сначала найдите скобки и действия второй ступени.

Считать умножение всегда приоритетнее деления. Ошибка возникает из-за запоминания только слова «умножение раньше». На самом деле эти действия одной ступени, поэтому сравните их положение и начните с левого.

Считать сложение всегда приоритетнее вычитания. Оба действия относятся к первой ступени и не имеют преимущества друг перед другом. Чтобы проверить решение, просмотрите их слева направо после выполнения умножения и деления.

Начинать с внешних скобок или игнорировать их. Внешняя часть не может быть вычислена правильно, пока неизвестно значение внутреннего выражения. Отметьте самые внутренние скобки и убедитесь, что именно они обработаны первыми.

Связь с другими темами

До изучения порядка действий нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа. Также важно понимать, как записывают числовые выражения и читают их знаки. Без этих навыков правило будет трудно применить к вычислениям.

Порядок действий используется не только с натуральными числами. Он нужен при вычислении выражений с дробями, десятичными числами и степенями, а также при подстановке чисел в формулы. В каждой такой записи скобки и приоритет действий помогают получить правильное значение.

Что запомнить

• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Если скобок несколько, начинают с внутренних.
• После каждого действия можно записывать промежуточный результат.