"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Умножение на 1 и на 0 — особые случаи умножения, для которых результат можно определить сразу. Единица не меняет множитель, а ноль превращает произведение в ноль. Эти правила помогают быстрее считать и упрощать выражения с числами и буквами. Чтобы применять их уверенно, нужно помнить смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и учитывать, что множители можно менять местами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое участвует в умножении. Например, в записи 4 · 7 числа 4 и 7 — множители. Множитель 1 не изменяет другой множитель, а множитель 0 делает произведение нулевым.
Произведение — результат умножения двух множителей. В записи 4 · 7 = 28 число 28 является произведением. Это слово также используют, когда говорят о самом выражении 4 · 7, поэтому по смыслу задачи важно понять, имеется ли в виду запись или её значение.
Умножение на 1 — случай умножения, при котором произведение равно другому множителю. Например, 8 · 1 = 8. Это правило позволяет не выполнять вычисление заново и сразу записать число, которое умножали на единицу.
Умножение на 0 — случай умножения, при котором произведение равно нулю. Например, 8 · 0 = 0. Правило помогает быстро находить значение произведения, даже если второй множитель большой или обозначен буквой.
Умножение натурального числа на натуральное можно понимать как сложение одинаковых слагаемых. Например, 5 · 3 означает взять три пятёрки: 5 + 5 + 5. Если число умножают на 1, такое слагаемое берут один раз, поэтому получается само число. Так становится понятно, почему 5 · 1 = 5, а не 1.
При умножении числа на 0 одинаковых слагаемых нужно взять ноль раз. Никаких слагаемых в сумме нет, и её значение равно 0. Поэтому 5 · 0 = 0 независимо от того, какое число стоит вместо 5. Правило относится и к нулю: 0 · 0 тоже равно 0.
Переместительное свойство умножения говорит, что от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Поэтому из a · 1 = a следует 1 · a = a, а из a · 0 = 0 следует 0 · a = 0. Единица или ноль могут стоять как справа, так и слева от другого множителя.
В буквенном выражении буква обозначает некоторое число, поэтому специальные правила применяются без изменений. Например, x · 1 можно заменить на x, а y · 0 — на 0. В числовом примере 12 · 1 + 3 · 0 сначала заменяют произведения: получают 12 + 0, а затем вычисляют сумму. Так выражение упрощается без лишних умножений.
Перед вычислением произведения полезно проверить, есть ли среди множителей 0 или 1. Если есть 0, всё произведение равно нулю, даже если другие множители неизвестны или велики. Если есть 1, её можно убрать, не изменяя остальных множителей. Это позволяет заранее определить результат отдельных частей сложного выражения и не тратить время на ненужные вычисления.
| Выражение | Результат | Обоснование |
|---|---|---|
| a · 1 | a | Единица не изменяет множитель. |
| 1 · a | a | По переместительному свойству 1 · a = a · 1. |
| a · 0 | 0 | Ноль одинаковых слагаемых дают нулевую сумму. |
| 0 · a | 0 | По переместительному свойству 0 · a = a · 0. |
| Примеры с натуральными числами | 23 · 1 = 23; 0 · 6 = 0 | Применяем правила к числовым множителям. |
| Примеры с буквенными выражениями | x · 1 = x; y · 0 = 0 | Буквы обозначают числа, поэтому правила сохраняются. |
Найдите в записи множитель 1 или 0 и сопоставьте выражение с подходящей строкой таблицы. При множителе 1 произведение сохраняет другой множитель, а при множителе 0 становится нулём. Переместительное свойство помогает применить правило, даже если единица или ноль записаны первыми.
Задача 1. Вычислить 37 · 1 и 0 · 84. В первом произведении множитель 1 оставляет число 37 без изменения. Во втором произведении уже есть множитель 0, поэтому значение сразу равно нулю. Можно применить правило, не вычисляя никаких промежуточных действий.
Задача 2. Упростить выражение 6 · x · 1 + 9 · 0. Сначала рассматриваем умножения, а сложение оставляем на потом. В первой части убираем множитель 1, а во второй часть произведения с нулём сразу заменяем на 0. После этого выполняем оставшееся сложение.
Задача 3. Найти значение выражения 125 · 0 + (48 · 1 − 17) · 0. Здесь есть два произведения с множителем 0, но скобки всё равно надо читать правильно. Первое слагаемое сразу равно нулю. Во втором произведении скобки образуют один множитель, однако умножение на ноль обнуляет всё произведение независимо от значения скобок.
Ошибка: записать a · 1 = 1. Так путают множитель 1 с результатом произведения, потому что видят единицу в записи и принимают её за ответ. Проверьте правило на числе: 7 · 1 = 7, значит сохраняется другой множитель. Правильная запись: a · 1 = a.
Ошибка: записать a · 0 = a. Обычно так переносят на умножение правило сложения с нулём: число при сложении с нулём не меняется. Но умножение на ноль означает взять слагаемое ноль раз, а результат равен нулю. Для проверки подставьте число, например 7: 7 · 0 = 0, а не 7.
Ошибка: применять правило только тогда, когда 1 или 0 стоят справа. Это происходит, если запоминают лишь записи a · 1 и a · 0. Переместительное свойство разрешает менять множители местами, поэтому 1 · a = a, а 0 · a = 0. Проверяйте оба множителя, независимо от их порядка.
Ошибка: не замечать множитель 0 в сложном выражении и выполнять лишние вычисления. Скобки и длинная запись могут отвлечь от того, что целое произведение умножается на ноль. Найдите границы этого произведения и убедитесь, что ноль действительно является одним из его множителей. Тогда можно сразу заменить произведение на 0, не вычисляя его остальные части.
Для объяснения правил пригодятся смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и переместительное свойство умножения. Эти знания показывают, почему единица сохраняет множитель, а расположение множителей не влияет на результат. Правила умножения на 1 и на 0 затем используют при упрощении числовых и буквенных выражений. Они помогают быстрее работать с выражениями со скобками, решать уравнения и выполнять действия с многочленами.
Почему при умножении на 1 число не изменяется?
Умножить число на натуральное число означает взять несколько одинаковых слагаемых. При умножении на 1 берётся ровно одно такое слагаемое, поэтому сумма равна исходному числу.
Почему любое число, умноженное на 0, даёт 0?
При умножении на 0 нужно было бы взять ноль одинаковых слагаемых. Слагаемых нет, поэтому их сумма равна нулю. Это правило действует и для числа 0.
Одинаковы ли правила для выражений a · 0 и 0 · a?
Да, оба произведения равны нулю: a · 0 = 0 и 0 · a = 0. Это следует из переместительного свойства умножения, по которому множители можно поменять местами.
Можно ли применять эти правила к буквенным выражениям?
Да. Буква обозначает число, поэтому к выражениям с буквами применяются те же правила: x · 1 = x, а x · 0 = 0. Неизвестное значение буквы для этого знать не нужно.
Как быстро заметить умножение на 0 или на 1 в сложном выражении?
Просмотрите каждый множитель в каждом произведении. Если среди множителей есть 0, всё произведение равно нулю; множитель 1 можно убрать, не изменяя произведение. Затем выполните оставшиеся действия с учётом их порядка.
Умножение на 1, на 0
