Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек на плоскости или в пространстве. Фигуры сравнивают по форме и размерам, а также выясняют, как они расположены относительно друг друга. Это помогает описывать чертежи и реальные предметы с помощью точных математических понятий.

Точка — простейшая геометрическая фигура, которая не имеет размеров. На чертеже её обычно показывают маленькой отметкой и обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Буквы позволяют указывать нужные места на чертеже и задавать ими другие фигуры.

Прямая, луч и отрезок — фигуры, связанные с точками и линиями. Прямая не имеет ни начала, ни конца; луч имеет начало, но продолжается бесконечно в одну сторону; отрезок ограничен двумя концами. Различие важно, чтобы понимать, какая именно часть линии рассматривается в задаче.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол можно назвать буквой вершины или тремя буквами, например ∠AOB: средняя буква O обозначает вершину.

Как это устроено

Точку считают исходным элементом геометрии, потому что она указывает положение, но не имеет длины, ширины или толщины. Линию удобно представлять как совокупность точек, расположенных по определённому правилу. Так же можно рассматривать и другие фигуры: они состоят из точек, и это позволяет описывать их границы и взаимное расположение.

Чтобы получить луч, на прямой выделяют одну точку и считают её началом: оставшаяся часть продолжается в одном направлении. Если выделить две точки, то часть прямой между ними образует отрезок. Поэтому одна и та же прямая может содержать много лучей и отрезков, а выбранные точки указывают, какую именно фигуру имеют в виду.

Прямую нельзя полностью изобразить на листе, потому что она бесконечна в обе стороны, а лист имеет края. На чертеже проводят удобную часть прямой и иногда ставят стрелки на концах, показывая, что линия продолжается. Значит, видимая длина рисунка не является длиной самой прямой и не ограничивает её.

Две точки A и B задают прямую AB, поскольку через две различные точки проходит ровно одна прямая. Для луча первой пишут его начало, поэтому луч AB начинается в A, а B задаёт направление. Отрезок AB обозначают по двум концам; перестановка букв не меняет сам отрезок, но у луча меняет начало.

Угол появляется, когда два луча выходят из одной точки: эта общая точка становится вершиной. Если лучи расходятся сильнее, угол раскрыт шире, поэтому его величина возрастает. Длина сторон на чертеже этого не определяет: лучи можно продлить, не изменив величину угла.

Основные геометрические фигуры и их обозначения

При чтении таблицы сначала проверь, есть ли у фигуры начало и концы, а затем выбери подходящее обозначение. Для луча особенно важен порядок букв, а в названии угла из трёх букв средняя буква всегда указывает вершину.

Разбор задач

Задача 1

Условие. По рисунку определить, какие объекты являются точками, прямыми, лучами и отрезками, и записать их обозначения. Сам рисунок может отличаться, поэтому сначала нужно рассмотреть признаки каждого объекта. Буквенные подписи помогают установить границы фигуры.

1. Отметь точки, изображённые отдельными отметками, и запиши их заглавными буквами, например A и B.
2. У линии со стрелками на обоих концах нет границ: это прямая, обозначенная двумя точками, например AB.
3. У линии с одним началом и стрелкой в другом направлении есть только начало: это луч, например CD, если он начинается в C.
4. Линия между двумя отмеченными концами — отрезок; запиши его по концам, например EF.

Ответ. Точки обозначаются одной буквой, прямая — двумя точками на ней, луч — началом и точкой направления, отрезок — двумя концами. Если на рисунке нет стрелок или отмеченных концов, ориентируйся на условные обозначения и подписи.

Задача 2

Условие. Даны точки A и B. Построить прямую AB, луч AB и отрезок AB, затем объяснить, чем различаются результаты. Для построения понадобятся линейка и чертёжный карандаш. Важно не менять положение точек, а менять только границы изображаемой фигуры.

1. Приложи линейку к точкам A и B и проведи линию через обе точки, продолжив её в обе стороны: получилась прямая AB.
2. Выбери A началом, проведи линию через B и продолжи её за B в одном направлении: получился луч AB.
3. Проведи только часть линии от A до B, не продолжая её за эти точки: это отрезок AB.
4. Сравни границы: прямая не имеет концов, луч имеет начало A, а отрезок ограничен точками A и B.

Ответ. Все три фигуры проходят через A и B, но имеют разные границы. Если поменять порядок букв в обозначении луча, получится луч BA с началом в B; для прямой и отрезка порядок букв не меняет фигуру.

Задача 3

Условие. Лучи OA, OB и OC образуют углы. Нужно назвать все углы, определить их вершины и найти общую сторону двух углов. Сначала установи, из какой точки выходят все три луча. Затем рассмотри пары лучей, которые образуют каждый угол.

1. У каждого угла вершина O, потому что все лучи начинаются в этой точке.
2. Составь названия из пар лучей: ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC.
3. В записи каждого угла поставь O между буквами A, B или C: средняя буква показывает вершину.
4. Сравни выбранные пары сторон. У углов ∠AOB и ∠BOC общей стороной является луч OB.

Ответ. Возможные углы — ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC; вершина каждого из них — O. Общая сторона углов ∠AOB и ∠BOC — луч OB.

Типичные ошибки

Отрезок иногда называют прямой или лучом, потому что на рисунке все три фигуры похожи на линии. Ошибка в том, что забывают проверить границы: у отрезка есть два конца, у луча — начало, у прямой концов нет. Для самопроверки найди отмеченные концы и стрелки, показывающие продолжение.

Записи луч AB и луч BA считают одинаковыми, потому что в обеих встречаются буквы A и B. Но первая буква обозначает начало, поэтому у этих лучей разные начала и направления. Проверь себя, прочитав название вслух: «луч из A через B» не совпадает с «лучом из B через A».

Угол могут записать двумя буквами или поставить вершину не на второе место. Так теряется информация о вершине, особенно если от неё выходят несколько лучей. В обозначении тремя буквами поставь вершину в середину и проверь, что первая и последняя буквы указывают стороны угла.

Иногда считают, что прямая или луч заканчиваются там, где кончается нарисованная линия. Так происходит, потому что на листе видна только часть фигуры. Ищи стрелки или мысленно продолжай линию за край рисунка: у прямой продолжение идёт в обе стороны, у луча — в одну.

Связь с другими темами

Для работы с фигурами нужно уметь обозначать точки латинскими буквами и пользоваться линейкой. Понятия отрезка, луча и угла понадобятся, когда начнут изучать длину, измерение углов, треугольники и другие многоугольники. Умение распознавать обозначения помогает читать геометрические чертежи и выполнять задачи на построение.

Что запомнить

• Точка не имеет размеров и обозначается заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Отрезок имеет два конца.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Угол образуют два луча с общей вершиной.
• В обозначении угла вершину записывают средней буквой.