Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею. Ломаная должна замыкаться и не пересекать себя: незамкнутая линия не окружает область, а самопересекающаяся не образует границу обычного многоугольника. Это определение помогает отличать многоугольники от других линий.

Вершины многоугольника — концы его звеньев, а стороны — сами звенья замкнутой ломаной. Каждая сторона соединяет две соседние вершины, поэтому число сторон равно числу вершин. Обычно вершины обозначают заглавными буквами по порядку обхода, а сторону называют по её концам, например AB.

Диагональ — отрезок, соединяющий две вершины, которые не являются соседними. Она проходит внутри многоугольника и не совпадает с его стороной. Понятие диагонали позволяет изучать связи между несоседними вершинами.

Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника. Его обозначают буквой P и выражают в единицах длины, например в сантиметрах. Периметр показывает, какова общая длина границы фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить многоугольник, нужно соединить отрезки последовательно: конец одного звена становится началом следующего. Последнее звено должно вернуться к начальной точке, иначе граница останется открытой и не ограничит часть плоскости. Кроме того, звенья не должны пересекаться друг с другом, иначе линия уже не будет простой границей одной многоугольной области. Именно поэтому одного набора отрезков недостаточно: важны их порядок и замкнутость.

Стороны и вершины связаны тем, что каждое звено имеет два конца и соединяет соседние точки ломаной. При обходе границы после одной вершины мы попадаем в следующую, а затем идём по следующей стороне. Так замыкается цепочка, и количество переходов между вершинами совпадает с количеством самих вершин. Поэтому многоугольник называют по числу его сторон, а вершины записывают подряд по порядку обхода, например ABCD.

Чтобы отличить диагональ от стороны, нужно посмотреть, соседствуют ли её концы в записи вершин. Если между ними нет другой вершины по выбранной последовательности границы, отрезок является стороной. Если вершины не соседние, соединяющий их отрезок — диагональ. Такое сравнение важно: сами по себе оба отрезка соединяют вершины, и только их положение относительно границы определяет название.

Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе: отрезок с совпадающими концами не соединяет две разные вершины. Нельзя соединить её диагональю и с двумя соседними вершинами, потому что такие отрезки уже являются сторонами. Значит, у n-угольника остаются n − 3 вершины, к которым можно провести диагонали из одной выбранной вершины. Например, у семиугольника из одной вершины получится 7 − 3 = 4 диагонали.

Периметр находят сложением, потому что граница состоит из отдельных сторон, и общая её длина складывается из длин всех звеньев. Если стороны равны, слагаемые одинаковы, поэтому сложение можно заменить умножением длины стороны на число сторон. Для многоугольника с неодинаковыми сторонами такое умножение одной длины не даст правильного результата. При сложении проверяй, что каждая сторона учтена ровно один раз.

Элементы многоугольника и способы их распознавания

Сначала установи, какие точки являются вершинами и в каком порядке они идут по границе. Затем проверь, соседние ли выбранные вершины: это позволит отличить сторону от диагонали. Для периметра выпиши длину каждой стороны и сложи значения, не пропуская и не повторяя ни одну.

Разбор задач

Задача 1. Начертите четырёхугольник ABCD и перечислите его вершины, стороны и диагонали. Решение строим по порядку букв: это порядок обхода границы фигуры. Значит, соседними будут A и B, B и C, C и D, D и A. Пары A и C, B и D не соседние.

1. Вершины — A, B, C и D, потому что это точки соединения сторон.
2. Стороны — AB, BC, CD и DA: каждая соединяет соседние вершины по границе.
3. Диагонали — AC и BD, так как их концы не соседствуют.

Ответ: вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC и BD. Если при перечислении сторон пропустить DA, граница окажется незамкнутой, поэтому последнюю и первую вершины тоже нужно считать соседними.

Задача 2. У пятиугольника длины сторон равны 3 см, 4 см, 4 см, 5 см и 6 см. Найдите его периметр. Все стороны перечислены, но их длины различаются, поэтому нельзя умножить одно из чисел на пять. Периметр — общая длина границы, значит, нужно сложить каждую длину один раз.

1. Запишем сумму: P = 3 + 4 + 4 + 5 + 6.
2. Сложим по порядку: 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22.
3. Укажем единицу измерения, общую для всех сторон: сантиметры.

Ответ: периметр равен 22 см. Две стороны длиной 4 см учитываются отдельно, потому что это разные стороны, хотя их длины совпадают. Повторять какую-либо сторону второй раз не нужно.

Задача 3. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины семиугольника? Сколько диагоналей можно провести всего? Из одной вершины исключаем её саму и двух соседей, поэтому остаются четыре вершины. Чтобы найти число диагоналей всего, можно посчитать их из каждой из семи вершин, но каждая диагональ соединяет пару вершин и попадёт в подсчёт с обоих концов.

1. Из одной вершины можно провести 7 − 3 = 4 диагонали.
2. При подсчёте из всех вершин получаем 7 · 4 = 28 концов диагоналей.
3. Делим 28 на 2, так как каждую диагональ посчитали дважды: 28 : 2 = 14.

Ответ: из одной вершины — 4 диагонали, всего — 14 диагоналей. Деление на два необходимо именно для общего числа: каждая диагональ имеет два конца и учитывается при подсчёте из каждой из этих вершин.

Типичные ошибки

Иногда диагональю называют любой отрезок между вершинами. Так происходит потому, что и сторона, и диагональ имеют концы в вершинах, но отрезок между соседними вершинами — это сторона. Проверь, соединяет ли отрезок несоседние точки: если нет, диагональю он не является.

Незамкнутую или самопересекающуюся ломаную могут принять за многоугольник, если смотреть только на отдельные звенья. Однако незамкнутая линия не ограничивает область, а при самопересечении граница нарушает условие простой ломаной. Перед тем как назвать фигуру многоугольником, проследи её границу до исходной точки и проверь, пересекает ли она саму себя.

При подсчёте диагоналей из одной вершины иногда учитывают отрезки к соседним вершинам. Ошибка возникает, если считать все соединения с другими точками, не разделяя стороны и диагонали. Отметь на границе две соседние вершины выбранной точки: соединения с ними — стороны, и в число диагоналей их включать нельзя.

Для любого многоугольника нельзя находить периметр умножением длины одной стороны на число сторон. Такое действие верно только тогда, когда длины всех сторон одинаковы; иначе оно заменяет разные слагаемые одним числом. Сверь длины сторон: если они не равны, сложи их по отдельности и проверь, что каждая учтена один раз.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно знать, что такое отрезок, ломаная, замкнутая линия и длина отрезка. Эти понятия позволяют описать границу фигуры и измерить её стороны. Многоугольники служат основой для дальнейшего изучения треугольников и четырёхугольников. Периметр пригодится в задачах на измерение границ и вычисление длин.

Что запомнить

• Многоугольник образован замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости.
• Число вершин многоугольника равно числу его сторон.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали.
• При подсчёте диагоналей из всех вершин каждая диагональ учитывается дважды.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.