"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Периметр многоугольника — это длина его замкнутой границы, которую находят сложением длин всех сторон. Он помогает узнать, например, сколько ленты нужно для украшения рамки или сколько материала потребуется для ограждения участка. Чтобы вычислить периметр, нужно обойти фигуру по контуру, не пропустить и не посчитать дважды ни одну сторону. Перед сложением длины приводят к одной единице измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — замкнутая фигура, составленная из отрезков. Эти отрезки называются сторонами, а точки, в которых они соединяются, — вершинами. Чтобы определить многоугольник, проверь: его граница замкнута и состоит из прямых отрезков. Это помогает отличить его, например, от круга или незамкнутой ломаной.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обычно периметр обозначают буквой P. Он показывает общую длину границы фигуры, поэтому нужен, когда требуется измерить контур или рассчитать материал для его обрамления.
Сторона многоугольника — отрезок, соединяющий две соседние вершины. Соседними называют вершины, которые идут друг за другом при обходе границы. В периметр входят все такие отрезки внешнего контура, а не линии, проведённые внутри фигуры.
Единицы длины — единицы, которыми измеряют стороны и записывают периметр: например, миллиметры, сантиметры и метры. Складывать удобно только длины, выраженные в одинаковых единицах. Поэтому перед вычислением метры переводят в сантиметры или, наоборот, выбирают другую общую единицу.
Представь, что ты проходишь вдоль границы многоугольника и возвращаешься в начальную точку. Каждый участок пути совпадает с одной стороной фигуры, а весь путь равен общей длине границы. Поэтому для нахождения периметра складывают длины сторон: сложение собирает отдельные отрезки в одну общую длину.
Если стороны имеют длины a, b, c и далее, формула записывается так: P = a + b + c + … . Каждое слагаемое соответствует длине одной стороны. Запись можно продолжить до последней стороны, чтобы показать, что учитывается вся граница, а не только часть контура.
Число слагаемых должно совпадать с числом сторон: у треугольника их три, у пятиугольника — пять. Удобно мысленно начать обход из любой вершины, пройти вдоль контура и остановиться, когда вернёшься к началу. Так проще заметить, что сторона не пропущена и не прибавлена повторно: каждый участок пути встречается один раз.
Если длину одной стороны увеличить на 3 см, а остальные стороны оставить прежними, весь контур станет длиннее на 3 см. В сумме периметра изменится только одно слагаемое, поэтому изменение периметра будет таким же, как изменение этой стороны. Это правило работает и при уменьшении: периметр станет короче на столько же, на сколько укоротили сторону.
У равностороннего многоугольника все стороны имеют одну длину a. Складывать одно и то же число много раз можно короче: умножить его на количество сторон n. Поэтому формула принимает вид P = a · n. Например, если сторона повторяется шесть раз, произведение на 6 сразу учитывает всю границу.
| Фигура или случай | Обозначения | Формула периметра | Что нужно сделать |
|---|---|---|---|
| Треугольник | a, b, c — стороны | P = a + b + c | Сложить длины трёх сторон. |
| Четырёхугольник | a, b, c, d — стороны | P = a + b + c + d | Сложить длины четырёх сторон. |
| Произвольный многоугольник | a₁, a₂, …, aₙ — стороны | P = a₁ + a₂ + … + aₙ | Сложить длины всех сторон. |
| Равносторонний многоугольник | a — сторона, n — число сторон | P = a · n | Умножить длину стороны на число сторон. |
| Многоугольник с неизвестной стороной | P — периметр, a₁, …, aₙ₋₁ — известные стороны | x = P − (a₁ + … + aₙ₋₁) | Вычесть сумму известных сторон из периметра. |
Сначала выбери строку, которая соответствует фигуре или условию задачи, и уточни, что обозначают буквы. Если фигура неравносторонняя, используй общее правило сложения сторон. После вычисления проверь единицы измерения и то, что учтены все стороны.
Найти периметр треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 8 см. Треугольник имеет три стороны, поэтому нужны все три длины. Они уже выражены в сантиметрах, значит, их можно складывать без перевода единиц.
Ответ: 19 см. Проверка проста: каждое из трёх заданных чисел использовано один раз, значит, ни одна сторона не потерялась и не повторилась.
Найти периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см. Эти числа задают длины двух соседних сторон, а противоположные стороны прямоугольника равны им. Поэтому вместо сложения четырёх отдельных длин можно дважды взять сумму соседних сторон.
Ответ: 20 см. Для проверки можно сложить стороны попарно: 7 + 3 + 7 + 3 = 20 см. Оба способа дают одинаковый результат.
Периметр пятиугольника равен 42 см, а четыре стороны имеют длины 6 см, 8 см, 9 см и 7 см. Нужно найти пятую сторону. Сначала выясним, какую часть периметра уже составляют известные стороны, а потом сравним эту сумму с полной длиной контура.
Ответ: длина пятой стороны равна 12 см. Вычитание здесь находит недостающую часть общей суммы: известные стороны уже дают 30 см из 42 см.
Можно случайно сложить не все стороны или посчитать одну сторону дважды. Обычно это происходит, когда переходят от стороны к стороне не по порядку и теряют место в обходе. Проверь себя: обведи границу мысленно, начиная с одной вершины, и остановись после возвращения к ней; число отмеченных отрезков должно совпасть с числом сторон.
Нельзя сразу складывать длины в разных единицах, например 1 м и 20 см. Такая запись смешивает разные меры, поэтому сначала переведи обе длины в сантиметры или метры. Самопроверка: у всех слагаемых перед сложением должна быть одна и та же единица измерения.
Периметр иногда путают с площадью. Периметр измеряет длину границы, поэтому ответ записывают в сантиметрах или метрах, а не в квадратных сантиметрах. Если в записи ответа появились квадратные единицы, проверь, не нашёл ли ты площадь вместо периметра.
Для равностороннего многоугольника ошибаются, если умножают длину стороны на неверное число. Множитель должен показывать, сколько всего сторон образуют фигуру, а не количество вершин, которое запомнили без проверки. Пересчитай стороны по контуру и сравни результат умножения со сложением одинаковых длин.
Для работы с периметром нужны понятия стороны и вершины, умение различать виды многоугольников и измерять отрезки. Также важно переводить единицы длины, чтобы перед сложением привести все величины к одной мере. Периметр прямоугольника и квадрата — частные случаи общего правила: сложить длины сторон, причём равные стороны позволяют упростить вычисления. Дальше это пригодится, когда нужно рассчитать длину ограждения участка, составить чертёж или найти неизвестную сторону по известному периметру.
Нужно ли складывать внутренние линии многоугольника при нахождении периметра?
Нет. Периметр образуют только стороны внешней границы многоугольника. Внутренние отрезки не входят в него, даже если они соединяют вершины.
Почему периметр измеряют в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах?
Периметр — это длина границы фигуры, поэтому его измеряют единицами длины: сантиметрами, метрами и другими. Квадратные сантиметры используют для измерения площади, то есть размера поверхности.
Как найти периметр, если стороны записаны в разных единицах?
Сначала переведи все длины в одну единицу, например в сантиметры или метры. Затем сложи полученные значения и запиши ответ в выбранной единице.
Можно ли найти периметр фигуры, если известны не все стороны?
Можно, если известен общий периметр и длины остальных сторон: их сумму вычитают из периметра. Также иногда длину неизвестной стороны можно определить по свойствам фигуры, например по равенству противоположных сторон прямоугольника.
Чем формула периметра прямоугольника отличается от общего правила?
Общее правило требует сложить длины всех сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому вместо четырёх слагаемых можно записать P = 2(a + b), где a и b — длины соседних сторон.
Периметр многоугольника
