Периметр многоугольника

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений вместе с частью плоскости, ограниченной ею. Отрезки этой ломаной называют сторонами, а точки их соединения — вершинами. Например, у треугольника три стороны и три вершины, поэтому эти названия помогают описывать строение фигуры.

Сторона многоугольника — отрезок, соединяющий две соседние вершины. Длину стороны обозначают, например, буквами a, b или a₁, a₂ и записывают с единицами: 5 см, 2 м. Такое обозначение позволяет составить формулу и не перепутать сами стороны с их длинами.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Его обычно обозначают буквой P: P = a₁ + a₂ + … + aₙ, где n — число сторон. Периметр показывает, какой длины была бы граница фигуры, если выпрямить её стороны в одну линию.

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Поэтому для него не требуется складывать разные длины: если сторона равна a, а сторон n, то P = na. Это правило заметно сокращает вычисления.

Как это устроено

Чтобы найти периметр, мысленно обходят границу многоугольника от одной вершины к соседней. При таком обходе встречается каждая сторона, а после последней возвращаются в начальную точку. Поэтому сложение всех сторон ровно по одному разу даёт полную длину границы без пропусков и повторов.

Если стороны заданы разными числами, их складывают последовательно: P = a₁ + a₂ + … + aₙ. Равные стороны тоже входят в сумму, потому что каждая занимает свой участок границы. Например, две стороны по 3 см дают 3 см + 3 см, а не одно слагаемое 3 см.

Перед вычислением все величины приводят к одной единице измерения. Нельзя напрямую складывать 2 м и 30 см, поскольку это разные единицы; сначала 2 м превращают в 200 см или 30 см — в 0,3 м. После перевода результат можно без ошибки записать в выбранных единицах.

У правильного многоугольника все стороны одинаковы, поэтому сумму одинаковых слагаемых заменяют умножением. Если одна сторона имеет длину a, а всего сторон n, то P = a · n. Например, для правильного шестиугольника периметр равен 6a.

Если известны периметр и число сторон правильного многоугольника, одинаковую длину находят обратным действием. Деление P на n показывает, сколько приходится на одну сторону: a = P : n. У прямоугольника две стороны имеют длину a и две — длину b, поэтому P = a + b + a + b = 2(a + b), а у квадрата все четыре стороны равны, и P = 4a.

Способы вычисления периметра

Сначала определите, какие данные указаны в условии, а затем выберите подходящую строку. Для произвольной фигуры складывают все стороны, а умножение применяют только при равенстве сторон. После вычисления проверьте единицы измерения и разумность ответа.

Разбор задач

Задача 1

Найди периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. Все три стороны уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Периметр треугольника равен сумме его сторон.

1. Записываем формулу: P = a + b + c.
2. Подставляем значения: P = 4 см + 5 см + 7 см.
3. Выполняем сложение: P = 16 см.

Ответ: 16 см.

Задача 2

Стороны пятиугольника имеют длины 2 см, 3 см, 4 см, 3 см и 6 см. Нужно учесть все пять сторон, включая две равные стороны по 3 см. Проверим сумму удобной группировкой: 2 + 4 + 6 = 12, а 3 + 3 = 6.

1. Составляем сумму: P = 2 + 3 + 4 + 3 + 6.
2. Складываем сгруппированные слагаемые: P = 12 + 6 = 18 см.
3. Проверяем, что использованы все пять чисел и единица измерения сохранена.

Ответ: 18 см.

Задача 3

Правильный шестиугольник имеет периметр 42 см. Сначала найдём его сторону, разделив периметр на 6, затем увеличим её на 2 см и вычислим новый периметр. Вторая фигура также правильный шестиугольник, поэтому можно применить формулу P = 6a.

1. Находим исходную сторону: a = 42 : 6 = 7 см.
2. Увеличиваем её: 7 + 2 = 9 см.
3. Находим новый периметр: P = 6 · 9 = 54 см.

Ответ: исходная сторона — 7 см, новый периметр — 54 см.

Типичные ошибки

Пропуск сторон. Иногда складывают только отмеченные или хорошо видимые отрезки, забывая часть границы. Такая ошибка возникает, если не обойти фигуру целиком. Проверьте себя: перечислите стороны по порядку и поставьте отметку возле каждой.

Неверное умножение. Умножать одну сторону на число сторон можно только у правильного многоугольника. У произвольной фигуры длины могут различаться, поэтому нужна полная сумма. Сравните все стороны перед выбором формулы.

Разные единицы. Сложение метров и сантиметров без перевода даёт неверный результат. Ошибку допускают, когда сразу подставляют все числа в сумму. Проверьте, что возле каждого слагаемого стоит одна и та же единица.

Неправильный периметр прямоугольника. Иногда длину и ширину складывают только по одному разу. Но у прямоугольника две стороны длины и две стороны ширины, поэтому P = 2(a + b). Для проверки можно перечислить четыре стороны: a, b, a, b.

Связь с другими темами

До изучения периметра нужно уметь распознавать многоугольники и измерять длину отрезка линейкой. Эти навыки помогают правильно определить границу фигуры и получить длины её сторон.

Периметр встречается в практических задачах о длине ограды, ленты или рамки вокруг фигуры. В таких задачах искомая величина равна длине замкнутой границы.

Периметр связан с площадью, но описывает другое свойство. Периметр показывает длину границы, а площадь — размер части плоскости внутри неё.

Что запомнить

• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.
• Каждую сторону при вычислении учитывают один раз.
• Перед сложением длины приводят к одинаковым единицам.
• Периметр правильного многоугольника равен длине стороны, умноженной на число сторон.
• Длину стороны правильного многоугольника находят делением периметра на число сторон.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.