Периметр многоугольника

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая геометрическая фигура, составленная из отрезков. Замкнутая значит, что линия возвращается в начальную точку и не имеет разрывов. Это определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой ломаной.

Сторона многоугольника — каждый отрезок, ограничивающий фигуру. Стороны образуют границу многоугольника, поэтому именно их длины нужны для вычисления периметра. По числу сторон называют треугольники, четырёхугольники и другие фигуры.

Вершина многоугольника — точка, в которой соединяются две стороны. Вершины помогают понять, где заканчивается один отрезок и начинается другой. Обычно число вершин многоугольника равно числу его сторон.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Его обозначают латинской буквой P. Периметр показывает, какой длины была бы граница фигуры, если выпрямить все её стороны и сложить их.

Как это устроено

Периметр показывает общую длину границы многоугольника, поэтому складывают длины всех сторон. Каждая сторона занимает часть границы, и ни одна из них не должна исчезнуть из подсчёта. Например, у треугольника складывают три длины, потому что его граница состоит из трёх отрезков.

Количество слагаемых при вычислении периметра соответствует количеству сторон. Если у фигуры пять сторон, в записи должно быть пять слагаемых. Полезно считать стороны при обходе фигуры по кругу, начиная с любой вершины.

Длины всех сторон перед сложением должны быть выражены в одних и тех же единицах. Нельзя напрямую складывать, например, 2 дм и 5 см, потому что это разные мерки. Сначала переводят дециметры в сантиметры или сантиметры в дециметры, а потом складывают числа.

Если стороны многоугольника равны, сложение можно заменить умножением длины одной стороны на количество таких сторон. Так запись становится короче: вместо 4 + 4 + 4 + 4 пишут 4 · 4. Этот способ подходит только тогда, когда все учитываемые стороны действительно имеют одинаковую длину.

Результат вычисления периметра записывают в единицах длины: сантиметрах, дециметрах, метрах и других. Периметр измеряет длину границы, а не размер поверхности внутри неё. Поэтому ответ 18 см верен для длины, а 18 см² означал бы уже площадь.

Нахождение периметра многоугольников

В таблице сначала определите вид многоугольника и число его сторон. Затем выберите запись, подставьте известные длины и проверьте единицу ответа.

Разбор задач

Периметр треугольника

Найдём периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Все длины уже записаны в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Так как у треугольника три стороны, нужно учесть каждую из них.

1. Записываем формулу: P = a + b + c.
2. Подставляем длины сторон: P = 4 см + 5 см + 6 см.
3. Складываем числа: 4 + 5 + 6 = 15.

Ответ: P = 15 см. Единица ответа остаётся сантиметром, потому что мы находили длину границы.

Периметр прямоугольника

У прямоугольника длина равна 7 см, а ширина — 3 см. Противоположные стороны равны, значит, длины сторон повторяются попарно. Поэтому можно сложить длину и ширину и умножить сумму на 2.

1. Складываем разные стороны: 7 + 3 = 10 см.
2. Учитываем две одинаковые пары сторон: P = 2 · (7 + 3).
3. Вычисляем: P = 2 · 10 = 20 см.

Ответ: P = 20 см. Запись 7 · 4 была бы неверной, потому что стороны прямоугольника имеют не одну общую длину.

Периметр пятиугольника с разными единицами

Стороны пятиугольника равны 2 дм, 35 см, 1 дм, 4 см и 16 см. Перед сложением переведём дециметры в сантиметры: 2 дм = 20 см, 1 дм = 10 см. Теперь все пять сторон выражены одинаково.

1. Записываем длины: 20 см, 35 см, 10 см, 4 см и 16 см.
2. Складываем их: P = 20 + 35 + 10 + 4 + 16.
3. Получаем: P = 85 см.

Ответ: P = 85 см. Мы использовали пять слагаемых, потому что у пятиугольника пять сторон.

Типичные ошибки

Складывают не все стороны многоугольника, пропуская одну при обходе фигуры. Такое происходит, если считать отрезки беспорядочно или не отметить начальную точку. Проверьте себя: обведите границу пальцем и убедитесь, что каждая сторона учтена один раз.

Складывают величины в разных единицах без предварительного преобразования. Ошибку допускают, когда считают одинаковыми, например, дециметры и сантиметры. Перед вычислением подчеркните единицы и переведите все длины в одну мерку.

Путают периметр с площадью и записывают ответ в квадратных единицах. Периметр описывает длину границы, поэтому ему нужны сантиметры, метры или другие единицы длины. Если в ответе появились см² или м², проверьте, не решали ли вы задачу на площадь.

Для прямоугольника умножают длину одной стороны на 4, хотя соседние стороны могут быть разными. Такое правило подходит только для фигуры, у которой все стороны равны. Для прямоугольника используйте P = 2 · (a + b) или сложите две длины и их повторения.

Связь с другими темами

Для нахождения периметра нужно уметь измерять отрезки, складывать числа и переводить единицы длины. Тема связана с распознаванием многоугольников, их сторон и вершин: без этого легко выбрать неправильное количество слагаемых. В жизни периметр помогает вычислять длину ограды, бордюра или рамки вокруг предмета.

Что запомнить

• Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
• Чтобы найти периметр, нужно обойти многоугольник по границе и сложить длины сторон.
• Все длины перед сложением должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Периметр обозначают буквой P.
• Результат находят в единицах длины, а не площади.
• У правильного многоугольника периметр равен длине стороны, умноженной на число сторон.