Периметр многоугольника

Определения и обозначения

Многоугольник — это замкнутая фигура, составленная из отрезков. Замкнутая значит, что её граница начинается и заканчивается в одной точке. Отрезки, из которых составлена граница, образуют стороны многоугольника.

Сторона многоугольника — это отрезок, являющийся частью его границы. У каждой стороны есть длина, которую можно измерить линейкой или узнать из условия задачи. Знание длин сторон нужно для вычисления периметра.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Он показывает, какова длина границы фигуры, если пройти по ней целиком. Периметр обозначают буквой P и записывают в единицах длины, например: P = 18 см.

Как это устроено

Чтобы найти периметр, сначала нужно измерить или узнать длину каждой стороны. Это необходимо потому, что граница фигуры состоит из всех сторон, а не только из самых длинных или заметных. Если длина какой-то стороны неизвестна, периметр сразу найти нельзя, пока эту длину не определят.

Периметр находят сложением длин всех сторон. При сложении удобно мысленно обходить фигуру по границе от одной вершины к другой и отмечать уже учтённые отрезки. Так не пропускают сторону и не считают один и тот же отрезок два раза.

Иногда несколько сторон имеют одинаковую длину. Тогда их можно сложить группой: например, три стороны по 4 см дают 3 · 4 см = 12 см. Такой способ короче, но число равных сторон нужно посчитать внимательно, потому что в периметр входит каждая из них.

Перед сложением все длины должны быть выражены в одинаковых единицах. Например, нельзя без перевода складывать 1 м и 40 см как обычные числа, потому что это разные единицы. Сначала метры переводят в сантиметры или сантиметры в метры, а результат записывают в единицах длины, не в квадратных единицах.

Как найти периметр многоугольника

В таблице указано, какие стороны нужно учитывать у разных фигур. Пользуйся ею как кратким планом решения: сначала определи все стороны, затем сложи их длины. Если стороны равны, можно заменить повторяющееся сложение умножением.

Разбор задач

Задача 1. Стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Нужно найти периметр. Все длины уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется.

1. У треугольника три стороны, значит, нужно учесть все три длины.
2. Складываем: P = 3 см + 4 см + 5 см.
3. Выполняем сложение: P = 12 см.

Ответ: периметр треугольника равен 12 см. Проверка простая: в записи использованы все три стороны ровно по одному разу.

Задача 2. Длина прямоугольника равна 7 см, ширина — 3 см. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому две стороны имеют длину 7 см, а две другие — 3 см. Нужно учесть все четыре стороны.

1. Записываем длины сторон по обходу границы: 7 см, 3 см, 7 см, 3 см.
2. Складываем: P = 7 см + 3 см + 7 см + 3 см.
3. Получаем P = 20 см, или P = 2 · 7 см + 2 · 3 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 20 см. На условном рисунке нужно обозначить обе длинные стороны числом 7 см, а обе короткие — числом 3 см.

Задача 3. Стороны многоугольника равны 1 м, 40 см, 60 см и 80 см. Требуется найти периметр в сантиметрах, поэтому сначала приведём все данные к сантиметрам. Знаем, что 1 м = 100 см.

1. Заменяем 1 м на 100 см.
2. Записываем все стороны в одной единице: 100 см, 40 см, 60 см и 80 см.
3. Складываем: P = 100 см + 40 см + 60 см + 80 см = 280 см.

Ответ: периметр равен 280 см. Важно, что перевод единиц был выполнен до сложения, поэтому результат получен именно в сантиметрах.

Типичные ошибки

Пропускают сторону. Это происходит, когда ученик складывает только знакомые или длинные отрезки. Обойди границу фигуры по порядку и отметь каждый учтённый отрезок.

Считают одну сторону дважды. При записи длин можно случайно вернуться к уже учтённой стороне. Помогает отметка на каждой стороне после её добавления в сумму.

Складывают разные единицы без перевода. Числа 1 и 40 нельзя сразу складывать как длины, если одно означает метр, а другое сантиметры. Перед вычислением проверь обозначения и переведи все данные в одну единицу.

Записывают квадратные единицы. Квадратные сантиметры измеряют площадь, а не длину границы. Для периметра используй сантиметры, метры или другие единицы длины.

Связь с другими темами

До изучения периметра нужно уметь измерять отрезки и складывать натуральные числа. Знание единиц длины и их перевода помогает решать задачи, где стороны заданы в метрах и сантиметрах. Периметр встречается в практических ситуациях: при расчёте длины ограды, рамки или маршрута вокруг участка.

Что запомнить

• Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
• При нахождении периметра нужно учесть каждую сторону ровно один раз.
• Перед сложением длины сторон приводят к одинаковым единицам.
• Периметр выражают в единицах длины.
• Если стороны равны, их длины можно складывать группами, не забывая ни одной стороны.