Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — геометрическая фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки должны соединиться концами и образовать замкнутую линию. Это определение помогает проверить, действительно ли перед нами треугольник.

Вершины треугольника — точки, в которых соединяются его стороны; их обозначают заглавными латинскими буквами. Например, вершины можно назвать A, B и C. Буквы нужны, чтобы точно называть и записывать треугольник и его части.

Стороны треугольника — отрезки между его вершинами; сторону называют по двум концам, например AB. Значит, запись AB указывает на отрезок от точки A до точки B. Такое обозначение помогает отличать одну сторону от остальных.

Угол треугольника — фигура, образованная двумя его сторонами с общей вершиной; у треугольника три угла. Общая вершина — точка, в которой встречаются стороны. Указание этой точки помогает понять, о каком именно угле идёт речь.

Как это устроено

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют три отрезка, которые образуют замкнутую фигуру — треугольник. Если соединить только две точки, получится один отрезок, а не замкнутая фигура. Третья точка должна находиться вне прямой, проходящей через первые две, иначе все три отрезка не образуют угол внутри фигуры. Когда точки не лежат на одной прямой, их можно соединить по кругу и получить три стороны.

Названия вершин задают обозначение всего треугольника: треугольник с вершинами A, B и C записывают как △ABC. Буквы в записи показывают, какие точки относятся к фигуре. Обычно их перечисляют по порядку обхода треугольника, переходя от одной вершины к соседней. По записи △ABC можно понять, что речь идёт о фигуре с вершинами A, B и C, а не о другой фигуре.

Каждая сторона соединяет пару вершин, поэтому у треугольника ABC стороны AB, BC и CA. Других пар соседних вершин нет: после соединения A с B и B с C замыкает фигуру отрезок от C к A. Сторону CA также можно назвать AC, потому что у отрезка те же два конца. Перечисляя стороны, удобно двигаться по контуру и следить, чтобы ни одна пара соседних вершин не потерялась.

У каждого треугольника три вершины, три стороны и три угла; при назывании угла важно указать его вершину. Угол появляется там, где сходятся две стороны, поэтому одной точки недостаточно, чтобы назвать его стороны, а одних сторон — чтобы указать место их встречи. Например, при вершине B сходятся стороны BA и BC. Если нужно назвать угол, назови точку, в которой встречаются его стороны.

Треугольники различаются длинами сторон и величинами углов; знакомство с этими признаками помогает сравнивать фигуры. У двух треугольников может быть одинаковое число элементов, но сами фигуры будут выглядеть по-разному. Стороны можно сравнивать по длине, а углы — по величине. Поэтому при сравнении сначала рассматривают, какие именно элементы даны, и только затем делают вывод о сходстве или различии фигур.

Элементы треугольника

Сначала найди на фигуре точки, в которых встречаются стороны, — это вершины. Затем проверь, какие отрезки соединяют соседние вершины, и назови их по концам. Наконец, найди места, где встречаются пары сторон: там расположены углы.

Разбор задач

Задача 1. Начертить треугольник и обозначить его вершины буквами A, B и C.

Нужно построить фигуру из трёх отрезков и подписать её вершины. Для начала удобно поставить точки так, чтобы они не лежали на одной прямой. Затем нужно соединить их отрезками по кругу: иначе фигура останется открытой.

1. Отметь на листе три точки, не лежащие на одной прямой.
2. Соедини точки отрезками: первую со второй, вторую с третьей и третью с первой.
3. Подпиши точки буквами A, B и C и проверь, что получилась замкнутая фигура из трёх отрезков.

Ответ: построен треугольник ABC с вершинами A, B и C. Проверка по определению показывает, что его стороны соединены концами и не лежат все на одной прямой. Если один отрезок не доведён до вершины, фигура не будет замкнутой.

Задача 2. Для треугольника ABC назвать все его стороны и вершины.

В записи уже перечислены три вершины, поэтому их можно назвать сразу. Чтобы не забыть сторону, будем двигаться по контуру от A к B, затем к C и обратно к A. Каждый переход между соседними вершинами даёт одну сторону.

1. Выпиши вершины из названия: A, B и C.
2. Запиши отрезки между соседними вершинами: AB и BC.
3. Замкни обход отрезком CA и проверь, что получилось три стороны.

Ответ: вершины — A, B, C; стороны — AB, BC, CA. Отрезок AC можно записать вместо CA: у него те же концы. Важно перечислить каждую сторону один раз и не добавлять отрезок между несоседними точками, если речь идёт о сторонах треугольника.

Задача 3. На рисунке определить, является ли замкнутая фигура треугольником, и назвать её элементы.

Сначала нужно проверить устройство фигуры, а не только её внешний вид. Закрытая линия может состоять из четырёх или большего числа отрезков, поэтому одной замкнутости недостаточно. Посчитай отрезки и найди точки, в которых они соединяются.

1. Проверь, что концы отрезков соединены и линия замкнута.
2. Посчитай отрезки: их должно быть ровно три, а точки соединения не должны лежать на одной прямой.
3. Назови три точки соединения вершинами, отрезки сторонами, а места встречи сторон — углами.

Ответ: если фигура замкнута и образована ровно тремя отрезками с тремя вершинами, это треугольник. Его элементы — три вершины, три стороны и три угла. Если отрезков больше или линия не замкнута, фигура не подходит под определение треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: называть треугольником фигуру, у которой стороны не соединены в замкнутую линию. Такое случается, если считать достаточным наличие трёх отрезков, не проверяя их концы. Проведи взглядом по контуру: можно ли пройти его и вернуться к началу, не встречая разрыва? Если нет, фигура не является треугольником.

Ошибка: считать вершинами точки внутри фигуры или на её сторонах. Такие точки могут быть отмечены на чертеже, но они не являются местами соединения сторон. Проверь, сходятся ли в точке два отрезка: если нет, это не вершина треугольника. У треугольника ровно три вершины.

Ошибка: записывать сторону одной буквой. Иногда букву вершины принимают за название отрезка, но сторона соединяет две точки, а не одну. Чтобы проверить запись, найди оба конца стороны и укажи обе буквы, например AB. Если названа лишь одна буква, обозначение стороны неполное.

Ошибка: путать вершину угла с его сторонами. Угол — не одна точка, а фигура, образованная двумя сторонами, которые встречаются в общей вершине. Найди отрезки, образующие угол, и место их встречи. Это место и есть вершина угла, а отрезки — его стороны.

Связь с другими темами

Перед изучением треугольников полезно уметь различать точку, отрезок и угол, а также пользоваться линейкой. Точка задаёт место, отрезок соединяет две точки, а угол появляется при встрече двух сторон. Эти знания позволяют начертить фигуру и распознать её элементы.

Понятие треугольника пригодится при изучении многоугольников и измерении периметра. Периметр находят, складывая длины сторон, поэтому сначала нужно правильно определить стороны фигуры. Треугольники также встречаются в задачах, где требуется распознать или сравнить геометрические фигуры.

Что запомнить

• Треугольник образован тремя отрезками.
• Три вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Сторона соединяет две вершины.
• Треугольник называют по его вершинам.