Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник из трёх отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. Эти отрезки замыкают фигуру, поэтому у неё есть внутренняя и внешняя стороны. Треугольник нужен для описания и построения геометрических фигур. Его вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C.

Вершины треугольника — точки, в которых соединяются его стороны. Вершины отмечают буквами, чтобы различать части фигуры и точно описывать чертёж. Например, если вершины обозначены A, B и C, то каждое название стороны или угла можно составить из этих букв. Заглавные латинские буквы помогают не перепутать вершины с длинами сторон.

Стороны треугольника — отрезки между его вершинами. Сторону называют по буквам её концов: отрезок между A и B — сторона AB. Такое обозначение показывает, какие именно точки соединены, даже если на чертеже отрезки выглядят похоже. Стороны можно измерять линейкой и сравнивать по длине.

Угол треугольника — угол между двумя его сторонами, имеющими общую вершину. Его обозначают одной буквой вершины, например ∠B, или тремя буквами, например ∠ABC; во втором случае вершина угла стоит посередине. Обозначение помогает понять, какой именно угол рассматривают. Угол можно измерить транспортиром или сравнить с другим углом.

Как это устроено

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают три отрезка: каждый отрезок соединяет отдельную пару точек. Если провести все три отрезка, они образуют замкнутую фигуру, потому что у каждого конца находится продолжение границы к следующей точке. Если же все точки расположены на одной прямой, отрезки остаются на этой прямой и замкнутой области не возникает. Поэтому условие о точках, не лежащих на одной прямой, необходимо для треугольника.

Треугольник называют по его вершинам, например ABC. Это название сообщает, какие точки образуют фигуру, и не зависит от того, в каком направлении записаны буквы: треугольник ABC можно назвать и BCA. Стороны обозначают парами букв, потому что у каждого отрезка два конца: AB соединяет A и B, BC соединяет B и C, а AC соединяет A и C. Так обозначения связывают название фигуры с её конкретными частями.

У каждой из трёх вершин сходятся ровно две стороны: например, в точке B встречаются AB и BC. Поэтому около каждой вершины получается угол, а всего таких вершин и углов три. У стороны два конца, значит, она прилегает к углам при этих концах. Третий угол находится напротив этой стороны, у вершины, которая в её концах не участвует.

Сторону и угол важно различать, хотя они связаны. Сторона — прямой отрезок, а угол появляется там, где два отрезка сходятся в одной точке. Например, AB — сторона, а угол ABC образуют стороны BA и BC, причём его вершина — B. Чтобы не ошибиться, сначала найдите общую точку сторон: она задаёт вершину угла.

При построении по заданным отрезкам фигура должна замкнуться. Один отрезок можно взять за основание, а из его концов провести окружности радиусами, равными длинам двух оставшихся сторон. Их точка пересечения будет третьей вершиной, если окружности пересеклись. Для этого сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей; иначе отрезки не смогут соединиться в замкнутую фигуру.

Элементы треугольника

Сначала найдите на чертеже точки-вершины, а затем проследите, какие отрезки их соединяют. Угол ищите там, где встречаются две стороны; при записи тремя буквами помещайте букву общей вершины в середину. Таблица помогает проверить, что перечислены все три элемента каждого вида.

Разбор задач

Задача 1. Дан треугольник ABC. Назовите его вершины, стороны и углы.

В названии ABC уже указаны три вершины фигуры. Чтобы назвать стороны, нужно составить пары букв, обозначающие концы каждого отрезка. Угол называют по вершине или тремя буквами, располагая букву вершины в середине.

1. Вершины — точки A, B и C.
2. Стороны — отрезки AB, BC и AC.
3. Углы — ∠A, ∠B и ∠C; например, угол при B можно записать как ∠ABC.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, AC; углы при вершинах A, B, C. Запись ∠ABC указывает на угол с вершиной B. При таком обозначении средняя буква всегда показывает вершину угла.

Задача 2. Постройте треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см с помощью линейки и циркуля.

Сначала проверим, смогут ли отрезки образовать замкнутую фигуру: 3 + 4 больше 5. Значит, можно выбрать за основание самый длинный отрезок, а концы двух других сторон определить пересечением окружностей. Радиус каждой окружности должен равняться длине соответствующей стороны.

1. Линейкой проведите отрезок AB длиной 5 см.
2. Из точки A циркулем проведите дугу радиусом 3 см, а из точки B — дугу радиусом 4 см.
3. Обозначьте одну точку пересечения дуг буквой C и соедините C с A и B.

Ответ: треугольник ABC построен со сторонами 5 см, 3 см и 4 см. Точку C можно выбрать по любому из двух пересечений окружностей, если они пересекаются в двух местах. В обоих случаях длины сторон останутся заданными.

Задача 3. Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 6 см? Объясните ответ.

Чтобы построить треугольник, отрезки должны соединиться в замкнутую фигуру. Сумма двух меньших длин должна быть больше наибольшей длины. Сравним эти величины для данных отрезков.

1. Наибольшая сторона равна 6 см, две другие — 2 см и 3 см.
2. Сложим меньшие длины: 2 + 3 = 5 см.
3. Сравним результат с наибольшей стороной: 5 см меньше 6 см.

Ответ: построить такой треугольник нельзя. Двух коротких отрезков не хватит, чтобы соединить концы отрезка длиной 6 см и замкнуть фигуру. Проверка суммы помогает решить вопрос ещё до построения.

Типичные ошибки

Иногда треугольник называют по его сторонам, например «треугольник AB», хотя AB обозначает только один отрезок. Ошибка возникает, когда пары букв принимают за название всей фигуры. Название треугольника должно включать три вершины, например ABC. Проверьте, что в названии фигуры перечислены именно точки, а не одна сторона.

Ещё одна ошибка — считать вершиной треугольника точку, если три выбранные точки лежат на одной прямой. Такие точки не дают замкнутой фигуры: отрезки не образуют границу треугольника. Иногда это незаметно на чертеже, если точки расположены близко друг к другу. Проверьте, что одна из точек не лежит на прямой, проходящей через две другие.

Сторону могут принять за угол, потому что обе части связаны с линиями чертежа. Но сторона — это один отрезок, а угол образуют два отрезка с общей вершиной. Ошибка часто появляется, если не найти точку, где сходятся стороны. Для проверки назовите элемент: если это отрезок между двумя точками — сторона, если раскрытие между двумя отрезками — угол.

Не любые три отрезка образуют треугольник: например, длины 2 см, 3 см и 6 см не подходят. Ошибка возникает, когда проверяют только наличие трёх сторон и забывают о возможности замкнуть их. Сложите две меньшие длины и сравните сумму с наибольшей. Если сумма не больше наибольшей стороны, построить треугольник нельзя.

Связь с другими темами

Для изучения треугольников нужно уметь распознавать точки, прямые, отрезки и углы, а также пользоваться линейкой и циркулем. Эти знания помогают точно читать обозначения и выполнять построения. Позже треугольники понадобятся при изучении периметра и видов треугольников. Они также используются при измерении углов и решении геометрических задач.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• Треугольник обозначают буквами его вершин.
• Сторону называют по буквам двух её концов.
• Каждая сторона соединяет две вершины.
• Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.