Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, состоящий из трёх сторон, трёх вершин и трёх углов. Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C, а весь треугольник записывают так: △ABC. По этой записи понятно, какие точки соединены и какую фигуру нужно рассматривать.

Стороны, вершины и углы — основные элементы треугольника. Сторону называют по двум её концам: AB, BC или CA, а угол — по вершине, например угол A. Такое обозначение помогает точно сказать, какую часть фигуры измеряют или сравнивают, и не перепутать её с другой.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если длины сторон обозначены буквами a, b и c, то формула периметра записывается так: P = a + b + c. Эта запись показывает, что для нахождения периметра нужно обойти всю границу фигуры и учесть каждую сторону.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а равносторонний — три равные стороны. Названия связаны с количеством одинаковых по длине сторон. По ним можно быстро описать треугольник и понять, какие стороны при вычислениях имеют одинаковую длину.

Как это устроено

Три отрезка образуют треугольник, если их концы соединяются попарно: конец одного отрезка становится концом следующего. При этом отрезки не должны лежать на одной прямой, иначе замкнутая фигура не получится. Например, если поставить три отрезка подряд на одной линии, они не ограничат область, а останутся прямой линией. Значит, для треугольника нужна замкнутая фигура с тремя углами.

Каждая сторона соединяет две вершины, а в каждой вершине встречаются две стороны. В месте их встречи образуется угол, поэтому у трёх соединённых сторон получаются три вершины и три угла. Если внимательно обойти треугольник по границе, то можно по очереди увидеть все три стороны и все три угла. Эти элементы связаны между собой, и у фигуры каждого из них ровно по три.

При классификации по сторонам сравнивают длины всех трёх отрезков. Если длины разные, треугольник разносторонний; если две стороны равны — равнобедренный; если равны все три — равносторонний. Такое деление помогает не смешивать фигуры с разными свойствами. Равносторонний случай можно также считать равнобедренным, потому что в нём тоже есть две равные стороны.

По углам треугольники различают по тому, есть ли в них прямой или тупой угол. В остроугольном все три угла меньше прямого, в прямоугольном один угол равен прямому, а в тупоугольном один угол больше прямого. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому двух прямых углов или двух тупых быть не может: их сумма уже была бы не меньше 180°, а для третьего угла места не осталось бы. Именно поэтому в прямоугольном или тупоугольном треугольнике такой угол только один.

Чтобы найти периметр, складывают длины всех трёх сторон, потому что периметр измеряет всю границу фигуры. Если одна сторона равна 4 см, вторая — 5 см, а третья — 6 см, нужно выполнить сложение 4 + 5 + 6. Складывать только две стороны нельзя: тогда часть границы останется неучтённой. Ответ записывают в единицах длины, например в сантиметрах.

Виды треугольников

Сначала выбери основание классификации: длины сторон или величины углов. Затем сравни данные о треугольнике с признаками в таблице и найди подходящий вид. Один и тот же треугольник можно описать по обеим группам признаков.

Разбор задач

Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Как называется этот треугольник по сторонам и чему равен его периметр? Сначала определим вид по длинам, а затем найдём сумму сторон. Периметр обозначают буквой P.

1. Сравним длины: 4 см, 5 см и 6 см — все три числа разные. Значит, все стороны имеют разную длину, и треугольник разносторонний.
2. Сложим длины всех сторон: P = 4 + 5 + 6 = 15 см. При сложении учитываем каждую сторону один раз.

Ответ: треугольник разносторонний, его периметр равен 15 см. Проверка: в сумме использованы все три длины, а единица ответа такая же, как у длин сторон. Сравнение сторон и нахождение периметра — это два отдельных шага решения.

У треугольника две стороны равны 7 см, а третья сторона равна 4 см. Определим его вид по сторонам и найдём периметр. Равные стороны не сливаются в одну: каждая из них является отдельной частью границы. Поэтому обе длины 7 см нужно учесть в сумме.

1. Сравним стороны: две из них имеют длину 7 см. Следовательно, треугольник равнобедренный.
2. Запишем сумму всех трёх сторон: P = 7 + 7 + 4 = 18 см. Можно проверить вычисление так: 7 + 7 = 14, а 14 + 4 = 18.

Ответ: треугольник равнобедренный, его периметр равен 18 см. В сумму вошли обе равные стороны и третья сторона. Если бы мы сложили только 7 и 4, то нашли бы длину лишь двух сторон, а не всего периметра.

Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см, а основание — 8 см. Найдём длину каждой боковой стороны и определим вид треугольника по сторонам. Основание — одна из сторон равнобедренного треугольника, а две другие стороны равны и называются боковыми. Значит, после вычитания основания оставшаяся длина поровну приходится на две боковые стороны.

1. Вычтем основание из периметра: 22 − 8 = 14 см. Это общая длина двух боковых сторон.
2. Разделим 14 см поровну на две равные стороны: 14 : 2 = 7 см. Значит, каждая боковая сторона равна 7 см.
3. Сравним длины всех сторон: 7 см, 7 см и 8 см. Две стороны равны, а третья отличается.

Ответ: каждая боковая сторона равна 7 см, треугольник равнобедренный. Проверим периметр: 7 + 7 + 8 = 22 см, как сказано в условии. Эта проверка подтверждает, что найденные длины подходят.

Типичные ошибки

Иногда равнобедренным называют только треугольник, у которого равны ровно две стороны. Так происходит, если не заметить, что определение требует наличия двух равных сторон, но не запрещает равенство третьей. У равностороннего треугольника тоже есть две равные стороны, поэтому он подходит под это определение. Проверь себя: если равны все три стороны, значит, равны и любые две из них.

Два прямых или два тупых угла в треугольнике невозможны. Ошибка появляется, когда углы рассматривают отдельно и забывают, что их сумма составляет 180°. Два прямых угла уже дают 180°, а два тупых вместе дают больше 180°, поэтому третьему углу не останется места. Для проверки сложи величины углов или вспомни их общую сумму.

При вычислении периметра равнобедренного треугольника иногда складывают только две разные длины сторон. Путают количество разных значений с количеством сторон: равные стороны всё равно остаются двумя отдельными сторонами. Периметр считают по всем сторонам, поэтому равную длину нужно прибавить дважды. Проверь, что в записи суммы ровно три слагаемых, если выписаны длины каждой стороны.

Классификации по сторонам и углам иногда смешивают, будто нужно выбрать только один признак. На самом деле длины сторон и величины углов отвечают на разные вопросы, поэтому описание может включать оба вида. Например, треугольник может быть одновременно равнобедренным и остроугольным. Проверь себя: сначала уточни, сравниваешь ли ты стороны или углы, а затем назови вид по каждому признаку отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с треугольниками нужно знать, что такое отрезок, угол и вершина, уметь измерять длины и складывать величины. Если эти понятия знакомы, можно описать фигуру и вычислить её периметр. Периметр пригодится при изучении других многоугольников и в задачах, где нужно определить длину границы. Элементы и виды треугольников также понадобятся при геометрических построениях и изучении свойств фигур.

Что запомнить

• У треугольника три стороны, три вершины и три угла.
• Периметр равен сумме длин трёх сторон.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Остроугольный треугольник имеет только острые углы.
• У прямоугольного треугольника один прямой угол.
• У тупоугольного треугольника один тупой угол.