Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки образуют замкнутую фигуру, внутри которой есть область. Это определение помогает отличить треугольник от незамкнутой линии или трёх точек на одной прямой.

Вершины треугольника — три точки, в которых соединяются его стороны. Треугольник обозначают тремя заглавными буквами, например ABC. По этим буквам можно узнать, какие точки принадлежат фигуре.

Стороны треугольника — три отрезка, соединяющие его вершины. У треугольника ABC это стороны AB, BC и AC. Название стороны составляют из букв двух её концов.

Угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами в каждой вершине. Поэтому у треугольника ABC три угла: при вершинах A, B и C. Угол показывает, как расходятся две стороны, выходящие из одной вершины.

Как это устроено

Если три отрезка соединить концами так, чтобы каждый следующий начинался там, где закончился предыдущий, последний отрезок вернётся к начальной точке. Поэтому линия замкнётся и получится фигура. Места соединения отрезков становятся вершинами, а сами отрезки — сторонами. Каждая сторона имеет две вершины, а каждая вершина соединяет две стороны.

Треугольник называют по его вершинам, потому что именно вершины однозначно задают его стороны и углы. В обозначении ABC буквы читают подряд: «треугольник АБЦ». Порядок букв можно изменить, если сохраняется обход вершин по фигуре, например ABC и ACB обозначают тот же треугольник, но запись должна содержать все три вершины.

Чтобы различать треугольники по сторонам, сравнивают длины всех трёх отрезков. Если равны три стороны, треугольник равносторонний; если равны две стороны, он равнобедренный; если все стороны разной длины, он разносторонний. Такое сравнение нужно выполнять именно по длинам, а не по тому, как фигура выглядит на рисунке.

По углам треугольники разделяют, сравнивая каждый угол с прямым углом. В остроугольном все углы острые, в прямоугольном один угол прямой, а в тупоугольном один угол тупой. Линейкой измеряют стороны, а угольником проверяют, есть ли прямой угол; для точного измерения величины углов используют транспортир.

Виды треугольников

Сначала определите, по чему нужно классифицировать треугольник: по сторонам или по углам. Затем измерьте нужные элементы и сравните результаты с признаком в таблице. Один и тот же треугольник может иметь название по сторонам и одновременно название по углам.

Разбор задач

Задача 1

У треугольника ABC стороны AB, BC и AC. Назовите его вершины, стороны и углы. Сначала найдём точки, которыми обозначена фигура, затем определим отрезки между соседними вершинами.

1. Вершины треугольника — A, B и C.
2. Стороны — AB, BC и AC, потому что каждая соединяет две вершины.
3. Углы находятся при вершинах A, B и C: это углы треугольника ABC.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, AC; углы при вершинах A, B и C.

Задача 2

Длины сторон треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Определите вид треугольника по сторонам. Для такого определения углы измерять не нужно: достаточно сравнить три длины.

1. Запишем длины сторон: 5 см, 5 см и 8 см.
2. Две стороны имеют одинаковую длину — по 5 см.
3. По признаку треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным.

Ответ: треугольник равнобедренный.

Задача 3

Постройте треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Найдите его периметр и определите вид по сторонам. При построении нужно получить три стороны заданной длины, а затем проверить их сложением и сравнением.

1. Начертим отрезок длиной 5 см.
2. Из одного конца проведём дугу радиусом 3 см, а из другого — дугу радиусом 4 см.
3. Точку пересечения дуг соединим с концами первого отрезка. Получатся стороны 3 см, 4 см и 5 см.
4. Найдём периметр: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
5. Стороны имеют разные длины, поэтому треугольник разносторонний.

Ответ: периметр равен 12 см, треугольник разносторонний.

Типичные ошибки

Некоторые называют треугольник двумя буквами или принимают две буквы за название стороны. Треугольник обозначают тремя заглавными буквами вершин, а сторона записывается двумя буквами её концов. Проверьте себя: в названии фигуры должно быть три вершины, а в названии стороны — только два конца отрезка.

Иногда равнобедренным считают только треугольник с двумя равными сторонами и не замечают равносторонний. У равностороннего равны все три стороны, значит, у него есть и две равные стороны. Сравните все три измерения и отдельно запишите, сколько равных сторон получилось.

При классификации по сторонам ученик может измерить один угол и сделать вывод о виде треугольника. Величина угла отвечает на другой вопрос — о классификации по углам. Перед решением подчеркните в условии слова «по сторонам» или «по углам».

При нахождении периметра иногда складывают только две стороны или учитывают одну сторону дважды. Периметр — это длина всей границы фигуры, поэтому нужно сложить ровно три стороны. Запишите формулу P = a + b + c и подставьте каждую длину один раз.

Связь с другими темами

До изучения треугольников нужно уметь различать точку, отрезок и угол, измерять длину отрезка линейкой и величину угла транспортиром или угольником. Эти умения помогают правильно читать чертёж и сравнивать элементы фигуры.

Треугольники нужны при изучении многоугольников, периметра и построении геометрических фигур. Навык складывать длины сторон пригодится в задачах на отрезки и нахождение длины границы различных фигур.

Что запомнить

• Треугольник имеет три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник обозначают тремя заглавными буквами его вершин.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Разносторонний треугольник не имеет равных сторон.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.