Различение треугольников по видам углов

Определения и обозначения

Угол треугольника — это угол, образованный двумя его сторонами, которые сходятся в одной точке. Точка, где стороны сходятся, называется вершиной угла. Например, в записи ∠ABC вершина — буква B, стоящая в середине; такое обозначение помогает понять, какой именно угол нужно рассматривать.

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые, то есть меньше 90°. Ни один его угол не достигает прямого угла. Это определение нужно, чтобы отличать такой треугольник от других по всем трём углам.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Прямой угол часто узнают по специальному значку в виде маленького квадрата. Наличие этого угла сразу позволяет назвать вид треугольника.

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой, то есть больше 90°, но меньше 180°. Два других угла при этом обязательно острые. Поиск тупого угла помогает отличить такой треугольник от остроугольного и прямоугольного.

Как это устроено

Чтобы определить вид треугольника, нужно рассмотреть все его углы. Один угол может выглядеть самым большим, но без сравнения с 90° нельзя уверенно сказать, является ли он тупым. Кроме того, неизвестный третий угол иногда меняет весь вывод о виде треугольника.

Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Поэтому, если известны два угла, третий можно найти вычитанием: 180° − величина первого угла − величина второго угла. Полученное число затем сравнивают с 90°, чтобы определить вид треугольника.

В треугольнике не может быть двух прямых углов. Два прямых угла вместе составили бы 180°, а третий угол должен иметь некоторую величину, поэтому сумма стала бы больше 180°. Значит, прямоугольный треугольник содержит только один прямой угол.

Двух тупых углов также быть не может. Каждый тупой угол больше 90°, поэтому сумма двух таких углов уже больше 180°, что невозможно для треугольника. Следовательно, тупоугольный треугольник имеет только один тупой угол, а два остальных являются острыми.

Если все три угла меньше 90°, треугольник остроугольный. Если один угол равен 90°, треугольник прямоугольный, а если один угол больше 90°, он тупоугольный. Для надёжного ответа сначала проверь самый большой угол, а затем убедись, что остальные углы не противоречат сумме 180°.

Виды треугольников по величине углов

Пользуйся таблицей после того, как определишь величину углов или сравнишь их с прямым углом. Сначала ищи прямой или тупой угол: каждый из них сразу указывает на свой вид треугольника. Если таких углов нет, все три угла острые, и треугольник является остроугольным.

Разбор задач

Задача 1

По рисунку нужно определить вид треугольника, если все его углы меньше 90°. Требуется сравнить каждый угол с прямым углом и выбрать подходящее определение. Здесь величины углов уже описаны в условии, поэтому вычислять их не нужно.

1. Проверяем первый угол: он меньше 90°, значит, он острый.
2. Проверяем второй и третий углы: они тоже меньше 90° и являются острыми.
3. Все три угла острые, поэтому применяем определение остроугольного треугольника.

Ответ: треугольник остроугольный.

Задача 2

Дан треугольник с углами 40°, 50° и 90°. Нужно определить его вид. Для этого достаточно найти среди данных углов прямой угол и сравнить его с определением.

1. Углы 40° и 50° меньше 90°, поэтому они острые.
2. Третий угол равен 90°, значит, он прямой.
3. В треугольнике есть один прямой угол, поэтому он является прямоугольным.

Ответ: треугольник прямоугольный.

Задача 3

Два угла треугольника равны 35° и 65°. Нужно определить вид треугольника, но третий угол пока неизвестен. Сначала найдём его по сумме углов треугольника, равной 180°.

1. Складываем известные углы: 35° + 65° = 100°.
2. Находим третий угол: 180° − 100° = 80°.
3. Все углы равны 35°, 65° и 80°, то есть каждый меньше 90°.
4. Следовательно, все три угла острые, и треугольник остроугольный.

Ответ: треугольник остроугольный.

Типичные ошибки

Нельзя называть треугольник тупоугольным только потому, что один угол кажется большим. Внешний вид рисунка может быть неточным, поэтому угол нужно сравнить с 90° или измерить. Проверь себя: действительно ли его величина больше 90°?

Некоторые считают прямоугольным треугольник с двумя прямыми углами. Такая фигура нарушает сумму углов треугольника, ведь 90° + 90° = 180° уже без третьего угла. Проверь, что прямой угол только один.

Название по углам иногда путают с названием по сторонам. Равносторонний, равнобедренный и разносторонний — это виды по сторонам, а остроугольный, прямоугольный и тупоугольный — виды по углам. Перед решением определи, какой признак требуется использовать.

Опасно делать вывод только по двум углам и не учитывать третий. Он может оказаться прямым или тупым после вычисления. Найди неизвестный угол через 180°, а затем сравни с 90° все три значения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о видах углов, сравнении углов с прямым углом и сумме углов треугольника. Эти умения помогают не угадывать вид фигуры, а доказывать ответ.

Различение треугольников пригодится при их построении и в задачах на неизвестные углы. По классификации углов также удобно перейти к изучению свойств прямоугольного треугольника.

Что запомнить

• У треугольника три угла.
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Остроугольный треугольник имеет три острых угла.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол.
• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.