Различение треугольников по длинам сторон

Определения и обозначения

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Например, длины его сторон могут быть 6 см, 6 см и 6 см. Это определение помогает сразу узнать фигуру, если одинаковыми оказались все три измерения.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Например, стороны могут иметь длины 4 см, 4 см и 7 см. По этому признаку находят одну пару одинаковых сторон.

Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Запись 3 см, 4 см и 5 см показывает, что одинаковых сторон нет. Такое определение нужно, чтобы отличать его от треугольников с хотя бы одной парой равных сторон.

Равные стороны — стороны, длины которых выражаются одним и тем же числом. Например, отрезки по 5 см равны по длине, даже если на рисунке они расположены по-разному. Сравнение таких длин позволяет установить вид треугольника.

Как это устроено

Чтобы определить вид треугольника, сначала находят длины всех его сторон. Затем сравнивают числа: сначала можно сравнить первую и вторую стороны, потом первую и третью, а затем вторую и третью. Такой порядок помогает не пропустить равенство или различие. Вывод делают только после проверки всех трёх сторон.

У равностороннего треугольника равны все три стороны, поэтому у него обязательно найдётся пара равных сторон. Значит, по широкому смыслу он подходит под условие равнобедренного треугольника. Но в школьной классификации равносторонний вид выделяют отдельно, потому что он сообщает более точный признак: равны не две, а все стороны.

Равнобедренный и разносторонний треугольники отличаются количеством равных сторон. У равнобедренного есть ровно одна пара одинаковых длин, если равносторонний рассматривают отдельно. У разностороннего нет ни одной пары равных сторон, поэтому все три числа различны.

Если длины сторон уже записаны, классификацию выполняют по этим числам: 8, 8, 8 — равносторонний; 5, 5, 9 — равнобедренный; 4, 6, 7 — разносторонний. Если размеры указаны на рисунке, нужно прочитать подписи и сопоставить их с соответствующими сторонами. Когда чисел нет, стороны измеряют линейкой и записывают результаты с одной и той же единицей длины.

Сравнивать нужно именно длины сторон, потому что вид треугольника в этой теме определяется сторонами. Угол показывает, насколько стороны наклонены друг к другу, но не сообщает, равны ли их длины. Рисунок тоже может быть нарисован не совсем точно: равные стороны могут выглядеть разными, а разные — почти одинаковыми. Поэтому решающими являются измерения или указанные числа.

Виды треугольников по длинам сторон

Пользуйся таблицей после того, как выпишешь длины всех трёх сторон. Найди в строке с примером или признаком подходящий случай. Если равны все три длины, выбирай равносторонний вид, а не равнобедренный.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить вид треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 5 см. Все размеры уже даны, поэтому измерять стороны не требуется. Нужно только сравнить три записанных числа.

1. Сравним первую и вторую стороны: 5 см = 5 см.
2. Сравним первую и третью стороны: 5 см = 5 см.
3. Получается, что равны все три стороны.

Ответ: треугольник равносторонний. Он также имеет две равные стороны, но более точное название показывает, что равны все три.

Задача 2

Условие: определить вид треугольника со сторонами 4 см, 4 см и 7 см. В этом случае два размера одинаковы, а третий отличается. Проверим это сравнением чисел.

1. Сравним первые две стороны: 4 см = 4 см.
2. Сравним 4 см с третьей длиной 7 см: 4 см ≠ 7 см.
3. Нашлась одна пара равных сторон, но все три стороны равными не являются.

Ответ: треугольник равнобедренный. Его равные стороны имеют длину 4 см.

Задача 3

Условие: распределить треугольники со сторонами 3 см, 4 см, 5 см; 6 см, 6 см, 6 см; 7 см, 7 см, 10 см по видам. Удобно разбирать наборы один за другим и каждый раз искать одинаковые числа. После этого результат записываем рядом с соответствующим набором.

1. В наборе 3, 4, 5 все числа разные, поэтому это разносторонний треугольник.
2. В наборе 6, 6, 6 все три числа одинаковы, поэтому это равносторонний треугольник.
3. В наборе 7, 7, 10 одинаковы два числа, поэтому это равнобедренный треугольник.

Ответ: 3 см, 4 см, 5 см — разносторонний; 6 см, 6 см, 6 см — равносторонний; 7 см, 7 см, 10 см — равнобедренный.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Равносторонним называют треугольник, у которого равны только две стороны. Так происходит из-за смешения двух признаков. Проверь, одинаковы ли все три длины: если нет, фигура равнобедренная.

Ошибка 2. Треугольник с двумя равными сторонами считают разносторонним. Обычно проверяют только одну пару и забывают о второй стороне. Сравни все три числа и найди, есть ли хотя бы одна пара одинаковых.

Ошибка 3. Вид определяют по форме рисунка, не учитывая размеры. Чертёж может быть выполнен приблизительно, поэтому зрительное впечатление обманчиво. Сверяйся с подписями или измеряй стороны линейкой.

Ошибка 4. Вывод делают по одной стороне. Одна длина не показывает, равна ли она двум другим. Для проверки выпиши три размера и сравни их попарно.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь распознавать треугольник, называть его стороны и сравнивать длины отрезков. Тема связана с измерением отрезков: результаты записывают в сантиметрах и других единицах длины. Позже классификация пригодится при изучении углов, вычислении периметра и построении геометрических фигур.

Что запомнить

• Вид треугольника можно определить по длинам его сторон.
• У равностороннего треугольника равны все три стороны.
• У равнобедренного треугольника равны две стороны.
• У разностороннего треугольника все стороны различны.
• Для классификации нужно сравнить длины всех трёх сторон.
• Нельзя определять вид треугольника только по внешнему виду рисунка.