Различение треугольников по длинам сторон

Определения и обозначения

Треугольник — фигура с тремя сторонами и тремя вершинами. Стороны — это отрезки, которые соединяют вершины. Чтобы различить треугольники по длинам сторон, сравнивают все три отрезка. Такое сравнение помогает определить вид фигуры, даже если треугольники выглядят похоже.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Например, если каждая сторона имеет длину 5 см, фигура равносторонняя. Это название нужно, чтобы сразу сказать, что все стороны имеют одинаковую длину. Для проверки надо убедиться, что равны именно все три стороны.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Например, у треугольника со сторонами 7 см, 4 см и 7 см боковые стороны имеют длину 7 см, а основание — 4 см. Названия помогают точно указать, какие стороны равны и какая сторона отличается от них.

Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Например, длины 3 см, 4 см и 5 см не повторяются, поэтому треугольник разносторонний. Это название используют, когда ни одна пара сторон не равна. Чтобы сделать такой вывод, нужно проверить все три длины.

Как это устроено

Сначала сравнивают длины всех трёх сторон, потому что двух сторон недостаточно для определения вида треугольника. Третья сторона может оказаться равной одной из них или иметь другую длину. Поэтому удобно записать три значения рядом и проверить, какие из них совпадают. Если длины не указаны, стороны можно измерить линейкой.

Когда равны все три стороны, треугольник называют равносторонним. Сравнение показывает, что ни одна сторона не отличается по длине от остальных. Если известны числа, достаточно проверить, что они совпадают все три. Если на сторонах стоят одинаковые отметки, они тоже показывают равенство отмеченных отрезков.

Если равны только две стороны, треугольник называют равнобедренным. Две одинаковые длины показывают, какие стороны являются боковыми, а оставшаяся сторона становится основанием. Основание может быть короче боковых сторон, длиннее их или расположено под наклоном на рисунке. Его название зависит от равенства сторон, а не от положения фигуры на листе.

Если все три длины различны, треугольник называют разносторонним. Для такого вывода нужно проверить каждую пару сторон: первая со второй, первая с третьей и вторая с третьей. Если ни одна пара не равна, одинаковых сторон нет. Проверка всех пар не позволяет случайно пропустить совпадение.

На рисунке равенство сторон определяют по числам, одинаковым отметкам или измерением линейкой. Числа прямо сообщают длины, а совпадающие отметки указывают на равные отрезки. Измерение помогает, если других сведений нет, но рисунок может быть выполнен не совсем точно. Поэтому при выборе сначала опирайся на данные и отметки, а затем — на измерения.

Виды треугольников по длинам сторон

Пользуйся таблицей после того, как сравнил длины всех трёх сторон. Найди строку, которая описывает результат сравнения, и посмотри, как называется такой треугольник. Для равнобедренного треугольника таблица также подсказывает названия сторон.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определи вид треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 5 см. Сравним длины по порядку: первая сторона равна второй, и первая равна третьей. Значит, третья сторона тоже равна второй. Все три значения совпадают.

1. Запишем длины сторон: 5 см, 5 см и 5 см.
2. Сравним первую и вторую стороны: они равны.
3. Сравним первую и третью: они тоже равны, значит, равны все три стороны.

По признаку из определения такой треугольник равносторонний. Ответ: равносторонний треугольник.

Задача 2

Условие: определи вид треугольника со сторонами 7 см, 4 см и 7 см, назови боковые стороны и основание. Сначала выясним, какие значения повторяются. Равны две стороны длиной 7 см, а длина третьей стороны отличается. Поэтому это равнобедренный треугольник.

1. Запишем длины сторон: 7 см, 4 см и 7 см.
2. Найдём две равные длины: 7 см и 7 см.
3. Назовём равные стороны боковыми, а оставшуюся сторону длиной 4 см — основанием.

Здесь не все стороны равны, поэтому треугольник не равносторонний. Ответ: равнобедренный; боковые стороны — по 7 см, основание — 4 см.

Задача 3

Условие: стороны треугольника имеют длины 3 см, 5 см и 4 см. Определи его вид и объясни ответ. Проверим, повторяется ли какое-нибудь значение. Длина 3 см не равна ни 5 см, ни 4 см, а 5 см не равна 4 см. Значит, все стороны различны.

1. Сравним первую и вторую стороны: 3 см и 5 см различны.
2. Сравним первую и третью: 3 см и 4 см тоже различны.
3. Сравним вторую и третью: 5 см и 4 см различны.

Ни одной пары равных сторон нет, значит, треугольник разносторонний. Ответ: разносторонний треугольник, потому что длины всех трёх сторон различны.

Типичные ошибки

Если ученик видит две равные стороны и сразу называет треугольник равносторонним, он смешивает два признака. Две равные стороны — признак равнобедренного треугольника, а для равностороннего равными должны быть все три. Такая ошибка возникает, когда проверяют только одну пару. Проверь себя: сравни третью сторону с обеими остальными.

Определять вид только по внешнему виду рисунка ненадёжно: стороны могут быть нарисованы неточно. Иногда кажется, что стороны одинаковые или разные, хотя указанные длины говорят обратное. Ученик может довериться картинке, потому что её форма заметна сразу. Проверь себя по числам, отметкам равенства или измерениям линейкой.

Равнобедренный треугольник не обязан иметь горизонтальное основание. Ошибка появляется, если ученик принимает расположение на рисунке за признак вида фигуры. Основание — это третья сторона, не равная двум боковым, а не обязательно нижний отрезок. Проверь себя: найди две равные стороны и назови третью основанием, как бы ни был повёрнут треугольник.

Сравнить только две стороны и остановиться — значит не проверить, какая длина у третьей. Из-за этого можно принять равнобедренный треугольник за равносторонний или не заметить совпадение. Для правильного вывода учитывают каждую из трёх сторон. Проверь себя: запиши все длины и сравни каждую пару.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать эту тему, нужно уметь узнавать треугольник, называть его стороны и измерять отрезки линейкой. Здесь также нужны сравнение чисел, понимание равенства и знание единиц длины. Если длины записаны в разных единицах, сначала их приводят к одинаковым. Позже классификация поможет изучать свойства треугольников, находить периметр и строить геометрические фигуры.

Что запомнить

• Вид треугольника по сторонам определяют сравнением длин его сторон.
• У равностороннего треугольника равны все три стороны.
• У равнобедренного треугольника равны две стороны.
• У разностороннего треугольника все стороны имеют разную длину.
• В равнобедренном треугольнике равные стороны называют боковыми.
• Третью сторону равнобедренного треугольника называют основанием.