Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Эти отрезки образуют замкнутую фигуру с тремя вершинами, сторонами и углами. Определение помогает отличить треугольник от незамкнутой линии или от фигуры, у которой больше сторон.

Вершина треугольника — общая точка двух его сторон. Вершины обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C, а сам треугольник называют по этим буквам: △ABC. Порядок букв может быть разным, если названы все три вершины.

Сторона треугольника — один из трёх отрезков, образующих фигуру. Сторону обозначают двумя буквами, которые соответствуют её концам: AB, BC или AC. Такое обозначение позволяет точно указать нужный отрезок в задаче.

Угол треугольника — угол между двумя его сторонами с вершиной в их общей точке. Речь обычно идёт о внутреннем угле, расположенном внутри фигуры; его обозначают одной буквой вершины, например ∠A, или тремя буквами: ∠BAC. Средняя буква в записи трёхбуквенного обозначения всегда показывает вершину угла.

Как это устроено

Три отрезка образуют замкнутую фигуру не при любом расположении. Конец каждого отрезка должен соединяться с концом другого отрезка, поэтому появляются ровно три общие точки — вершины. Если хотя бы один конец не соединён или все точки лежат на одной прямой, замкнутого треугольника не получится.

По равенству сторон треугольники делят на три вида. Если все стороны имеют разную длину, треугольник разносторонний; если две стороны равны, он равнобедренный; если равны все три стороны, он равносторонний. Такое разделение показывает, какие стороны можно сравнить между собой, а не то, как фигура выглядит на рисунке.

По величине углов треугольник бывает остроугольным, если все его углы острые, прямоугольным, если один угол прямой, и тупоугольным, если один угол тупой. Два прямых или два тупых угла невозможны: их сумма уже не оставила бы места для положительного третьего угла. Поэтому у прямоугольного и тупоугольного треугольника только один угол может иметь особый вид.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Это можно объяснить, если через одну вершину провести прямую, параллельную противоположной стороне: два угла при других вершинах окажутся связанными с углами на прямой, а вместе они составят развернутый угол. Поэтому неизвестный угол находят вычитанием суммы известных углов из 180°.

Длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон, потому что самый короткий путь между двумя точками — прямой отрезок. Если идти от одного конца стороны через третью вершину, путь будет состоять из двух отрезков и окажется длиннее прямой стороны. Это правило называют неравенством треугольника и используют, чтобы проверить возможность построения фигуры.

Виды треугольников по сторонам и углам

Сначала определите, по какому признаку требуется классифицировать треугольник: по сторонам или по углам. Затем сравните длины сторон либо величины углов с условиями таблицы. Один и тот же треугольник можно назвать сразу по двум признакам, например равнобедренным и прямоугольным.

Разбор задач

Задача 1. У треугольника стороны 4 см, 4 см и 6 см. Определим его вид по сторонам. Для этого сравним не внешний вид фигуры, а данные о длинах.

1. Запишем длины сторон: 4 см, 4 см и 6 см.
2. Заметим, что две стороны имеют одинаковую длину: 4 см = 4 см.
3. Сравним третью сторону: 6 см отличается от 4 см.

Ответ: треугольник равнобедренный.

Задача 2. Два угла треугольника равны 48° и 67°. Найдём третий угол и установим его вид по углам. Используем сумму внутренних углов треугольника.

1. Сложим известные углы: 48° + 67° = 115°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Все три угла — 48°, 67° и 65° — меньше 90°, значит, они острые.

Ответ: третий угол равен 65°, треугольник остроугольный.

Задача 3. Проверим, могут ли отрезки 3 см, 5 см и 9 см быть сторонами треугольника. Достаточно сравнить наибольший отрезок с суммой двух остальных, потому что именно это сравнение сразу выявляет невозможность замыкания.

1. Наибольшая длина равна 9 см.
2. Сложим две другие длины: 3 см + 5 см = 8 см.
3. Сравним: 9 см не меньше 8 см, а должно быть меньше суммы двух других сторон.

Ответ: нет, такие отрезки не могут образовать треугольник.

Типичные ошибки

Ошибка — считать треугольник равнобедренным только потому, что две стороны на рисунке выглядят одинаковыми. Масштаб изображения может быть неточным, поэтому внешний вид ничего не доказывает. Проверяйте числа или специальные отметки равенства на чертеже.

Иногда классификацию по сторонам путают с классификацией по углам. Эти признаки независимы: стороны сравнивают для одного названия, а углы — для другого. Сначала подпишите, какой именно признак требуется использовать.

При поиске третьего угла некоторые вычитают известные углы из 90°. Число 90° относится к прямому углу, а сумма углов всего треугольника равна 180°. Перед вычислением запишите правило: 180° − сумма известных углов.

Нельзя проверять неравенство треугольника только для одной случайной пары сторон. Условие должно выполняться для каждой стороны, хотя на практике достаточно сравнить наибольшую сторону с суммой двух других. Если наибольшая сторона меньше этой суммы, остальные проверки выполняются автоматически.

Связь с другими темами

До изучения треугольников нужно знать, что такое отрезок и угол, как измеряют их длины и величины. Также пригодятся понятия равных фигур и умение сравнивать числа. Эти знания позволяют читать обозначения и выполнять вычисления.

Свойства треугольников используются в геометрических построениях и доказательствах. По сторонам и углам строят фигуры, находят неизвестные элементы и вычисляют периметр или площадь. Поэтому треугольник становится основой для многих следующих тем.

Сумма углов треугольника помогает решать задачи о многоугольниках. Многоугольник можно разделить диагоналями на треугольники, а затем сложить известные суммы углов. Так находят общий угол многоугольника.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три внутренних угла.
• Треугольник называют по его вершинам.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
• Наибольшая сторона треугольника меньше суммы двух остальных.