"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой известные данные связаны с неизвестной величиной, которую нужно найти. Чтобы решить её, сначала выясняют, что известно и о чём спрашивается, затем устанавливают связи между величинами и записывают их в виде схемы, выражения или уравнения. Такая математическая модель помогает выбрать порядок действий. В конце вычисления проверяют по условию и записывают ответ с нужной единицей измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестное. Например, если известно, сколько было предметов и сколько взяли, можно узнать, сколько осталось. Это понятие помогает отличить задачу от простого набора чисел: данные должны быть связаны с вопросом.
Условие задачи — сведения о ситуации и связи между величинами, которые заданы в тексте. В условии могут быть указаны количества, цены, расстояния, время или другие данные. Выделив их, легче понять, какие сведения использовать для решения и как они соотносятся друг с другом.
Требование задачи — то, что нужно узнать или доказать. Обычно оно сформулировано в вопросительном предложении, например: «Сколько осталось?» Требование задаёт цель решения, поэтому его нужно определить до вычислений: иначе можно найти верное число, которое не отвечает на вопрос.
Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, схемы, таблицы или уравнения. Например, если из 18 предметов взяли 7, ситуацию можно записать как 18 − 7. Модель делает связи между величинами наглядными и помогает выбрать подходящий способ решения.
Сначала прочитайте задачу целиком и определите, о каких величинах в ней говорится и что требуется найти. Не торопитесь выполнять первое действие, которое пришло в голову: отдельное число может относиться не к тому вопросу, который задан. Когда понятны ситуация и цель, проще отобрать нужные данные и не упустить важное ограничение из условия.
Затем выделите известные данные и вопрос, а между величинами найдите связи. Например, если говорится о нескольких одинаковых покупках, общая стоимость зависит от цены одной покупки и их количества. Краткая запись, схема или таблица помогают удержать эти сведения перед глазами; по ним проще заметить, чего пока не хватает для ответа.
По найденным связям постройте математическую модель: запишите выражение, уравнение, таблицу или схему. Это нужно, чтобы перейти от слов к точным отношениям между величинами и увидеть, какие вычисления приведут к ответу. Выбирайте такую запись, которая соответствует именно условию, а не просто содержит все числа из текста.
План решения следует выбирать по модели. Сначала определите, нужны ли промежуточные величины: например, чтобы узнать стоимость нескольких одинаковых вещей, сперва может понадобиться цена одной вещи. После этого расположите действия в нужном порядке, выполните вычисления и поясните, что означает каждое полученное число. Так ход решения остаётся понятным и его легче проверить.
Полученный результат проверьте по условию и вопросу задачи. Убедитесь, что найдено именно то, о чём спрашивали, а число не противоречит ситуации; например, после уменьшения количества результат не должен стать больше исходного. Затем сформулируйте ответ словами и укажите единицу измерения, если она нужна: без неё число часто не сообщает, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Прочитать условие | Выделить данные и требование | Понимание ситуации |
| Установить связи | Сопоставить известные и неизвестные величины | Схема, краткая запись или таблица |
| Составить модель | Записать отношения выражением или уравнением | Математическая запись задачи |
| Выполнить план | Провести нужные вычисления | Значение искомой величины |
| Проверить ответ | Сверить результат с условием и вопросом | Ответ, соответствующий ситуации |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: каждый этап опирается на результат предыдущего. Если на каком-то шаге непонятно, что делать, вернитесь к условию и уточните данные или связи. Последняя строка напоминает, что вычисление ещё не завершает решение: нужно проверить и записать ответ.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей. Из неё взяли 7 карандашей. Сколько карандашей осталось? Нужно узнать остаток, то есть количество после того, как часть убрали. Значит, общее количество уменьшается на число взятых карандашей, и для проверки ответ должен оказаться меньше 18.
Ответ: осталось 11 карандашей. Название предмета в ответе показывает, к какой величине относится число. Если бы получилось число больше 18, это противоречило бы ситуации.
Задача 2. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала нужно узнать цену одной тетради, потому что общая стоимость зависит от числа тетрадей. Затем цену одной тетради можно умножить на 5, чтобы получить стоимость пяти тетрадей.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей. Деление на 3 позволило перейти от стоимости нескольких одинаковых предметов к цене одного. Умножение на 5 вернуло нас к общей стоимости, но уже для нужного количества.
Задача 3. В двух коробках 46 деталей. Во второй коробке деталей на 8 больше, чем в первой. Сколько деталей в каждой коробке? Неизвестно содержимое каждой коробки, но их сумма известна. Обозначим количество деталей в первой коробке буквой x; тогда во второй будет x + 8, и вместе они составляют 46.
Ответ: в первой коробке 19 деталей, во второй — 27. Проверка подтверждает оба условия: сумма равна 46, а во второй коробке на 8 деталей больше. Уравнение помогло выразить сразу обе связи через одну неизвестную.
Если начать вычисления до выяснения вопроса, можно найти не ту величину: например, вычислить цену одной вещи, хотя требуется общая стоимость. Так случается, когда ученик цепляется за первые числа в условии. Перед решением сформулируйте вопрос своими словами и после вычислений проверьте, отвечает ли результат именно на него.
Выбирать действие только по словам «больше» или «меньше» ненадёжно. Одно и то же сравнение может описывать разные связи: чтобы узнать, на сколько одно количество больше другого, используют вычитание, а чтобы найти большее количество по меньшему и разности — сложение. Определяйте действие по смыслу отношения и проверяйте, соответствует ли запись всей ситуации.
Если не пояснять промежуточные вычисления, легко забыть, что означает найденное число, и нарушить порядок решения. Например, число после деления может быть ценой одного предмета, а не ответом на вопрос о стоимости нескольких. Подписывайте промежуточный результат словами или единицами измерения и сверяйте его с тем, что нужно найти дальше.
Ответ без проверки и единицы измерения может оказаться неверным или непонятным. Можно записать подходящее число, но перепутать предметы или назвать результат, который не согласуется с условием. Проверьте вычисление обратным действием или подстановкой, а в ответе укажите найденную величину и её единицу, если она задана.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий, понимание порядка действий и умение пользоваться единицами измерения. Схемы и таблицы помогают упорядочить данные, а буквенные выражения — представить неизвестное и связь величин. Эти приёмы пригодятся при составлении и решении уравнений, а также в задачах на движение, работу и проценты. В таких задачах меняется сюжет, но необходимость выделить данные, построить модель и проверить ответ остаётся.
Зачем делать краткую запись, если условие можно перечитать?
Краткая запись помогает увидеть все известные и неизвестные величины рядом, не отвлекаясь на подробности рассказа. В ней проще заметить связи между данными и проверить, хватает ли информации для ответа.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какую промежуточную величину нужно найти, чтобы ответить на вопрос задачи. Затем выберите действие по связи между величинами: например, общую стоимость находят умножением цены на количество.
Всегда ли для решения задачи нужно составлять уравнение?
Нет, простую задачу часто удобно решить одним или несколькими арифметическими действиями. Уравнение полезно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой и записать условие как равенство.
Как проверить, что полученный ответ разумен?
Сравните ответ с данными задачи: например, число оставшихся предметов не может быть больше исходного количества. Затем подставьте результат в условие или выполните обратное действие и убедитесь, что ответ относится именно к заданному вопросу.
Что делать, если по условию не удаётся сразу увидеть связь между величинами?
Перечитайте условие и отдельно выпишите данные, вопрос и единицы измерения. Попробуйте изобразить ситуацию схемой или таблицей, а затем выясните, как одно известное значение связано с другим.
Решаем задачи
