Четырёхугольники

Определения и обозначения

Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Вершина — точка, где встречаются две стороны, а угол образован этими сторонами. Название фигуры обычно составляют из букв её вершин, например ABCD. Понимание этих элементов помогает описывать фигуру и использовать её свойства в задачах.

Стороны, имеющие общую вершину, называют соседними, а стороны без общей вершины — противоположными. Например, у четырёхугольника ABCD стороны AB и BC соседние, потому что встречаются в точке B. Стороны AB и CD противоположные: общей вершины у них нет. Так можно быстро разобраться, какие именно стороны сравнивают или называют в условии задачи.

Вершины, соединённые одной стороной, называют соседними, а не соединённые стороной — противоположными. В ABCD соседними являются A и B, а противоположными — A и C. Это различие важно, потому что сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — противоположные. Поэтому по буквам фигуры можно понять, о каком отрезке идёт речь.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. У ABCD диагоналями будут AC и BD, а AB диагональю не является: это сторона. Диагональ нужна, чтобы разделить фигуру на более простые части и исследовать её углы и свойства. В выпуклом четырёхугольнике диагональ проходит внутри фигуры.

Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иначе говоря, если продолжить любую сторону в обе стороны, вся фигура останется с одной стороны от полученной прямой. У такого четырёхугольника все внутренние углы меньше 180°. Это определение помогает отличить выпуклую фигуру от невыпуклой, у которой часть фигуры как бы вогнута внутрь.

Как это устроено

Чтобы обозначить четырёхугольник, буквы его вершин записывают подряд в порядке обхода границы, например ABCD. После D обход возвращается к A, поэтому стороны — AB, BC, CD и DA. Читать обозначение можно и в обратном направлении, например ADCB: это та же фигура, если порядок вершин остаётся последовательным. А запись, в которой перескакивают через вершину, обычно не задаёт порядок обхода и может привести к путанице.

Диагональ выпуклого четырёхугольника соединяет противоположные вершины и проходит внутри него. Она разбивает исходную фигуру на два треугольника, у которых общая сторона — эта диагональ. Все четыре угла четырёхугольника входят в углы этих треугольников, а углы у концов диагонали делятся на части. Поэтому сумму углов четырёхугольника можно найти через уже известное свойство треугольника.

Сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°. После проведения диагонали получаются два треугольника, значит, сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180° + 180° = 360°. Если три угла известны, четвёртый находят, вычитая их сумму из 360°. Например, при углах 70°, 100° и 110° недостающий угол равен 80°.

У выпуклого четырёхугольника обе диагонали находятся внутри и пересекаются внутри фигуры. У невыпуклого одна диагональ может проходить снаружи, а один внутренний угол оказывается больше 180° — его называют развёрнутым, или рефлексным. Поэтому при рассуждениях о диагоналях и углах нужно сначала проверить выпуклость. Формула 360° выводится для выпуклого случая; при подсчёте углов невыпуклой фигуры также учитывают угол больше 180°.

Четырёхугольники различают по числу пар параллельных сторон и дополнительным свойствам. Если параллельна одна пара противоположных сторон, фигуру называют трапецией; если параллельны обе пары — параллелограммом. Прямоугольник является параллелограммом с четырьмя прямыми углами, ромб — параллелограммом с равными сторонами. Квадрат совмещает свойства прямоугольника и ромба, то есть имеет и прямые углы, и равные стороны.

Виды четырёхугольников и их признаки

Сначала найдите в таблице число пар параллельных сторон, затем проверьте равенство сторон и свойства углов. Более частный вид может одновременно обладать признаками более общего: например, квадрат — и прямоугольник, и ромб. Не делайте вывод о признаке только по внешнему виду чертежа.

Разбор задач

Задача 1

В четырёхугольнике ABCD укажите пары соседних и противоположных сторон и назовите его диагонали. Чтобы не перепутать стороны, читаем буквы по кругу: стороны соединяют каждую вершину со следующей. Диагоналями будут отрезки между вершинами, которые не соединены стороной. По этому правилу получаем полный перечень.

1. Стороны четырёхугольника: AB, BC, CD и DA.
2. Пары соседних сторон: AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB. В каждой паре есть общая вершина.
3. Пары противоположных сторон: AB и CD, BC и DA. Общих вершин в этих парах нет.
4. Несоседние вершины — A и C, B и D, поэтому диагонали — AC и BD.

Ответ: соседние стороны — AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB; противоположные — AB и CD, BC и DA; диагонали — AC и BD. Быстрая проверка: у каждой стороны две соседние стороны и одна противоположная, а диагональ не совпадает со стороной. Порядок букв здесь показывает обход границы фигуры.

Задача 2

Три угла выпуклого четырёхугольника равны 72°, 95° и 108°. Нужно найти четвёртый угол. Поскольку четырёхугольник выпуклый, применяем сумму его внутренних углов, равную 360°. Сначала складываем известные углы, затем вычитаем результат из общей суммы.

1. Находим сумму известных углов: 72° + 95° + 108° = 275°.
2. Вычитаем её из суммы углов четырёхугольника: 360° − 275° = 85°.
3. Проверяем: 72° + 95° + 108° + 85° = 360°.

Ответ: четвёртый угол равен 85°. Проверка подтверждает, что найденное значение вместе с остальными даёт нужную сумму. Если бы получилось отрицательное число, это означало бы, что в условии или вычислениях есть ошибка.

Задача 3

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Объясните, почему точка пересечения лежит внутри фигуры, и найдите сумму углов одного из треугольников, образованных диагональю. Выпуклость означает, что диагонали проходят внутри четырёхугольника. Их точка пересечения принадлежит обеим диагоналям, следовательно, находится внутри фигуры.

1. Выбираем одну диагональ: она соединяет противоположные вершины и делит четырёхугольник на два треугольника.
2. Точка пересечения диагоналей лежит на выбранной диагонали и внутри фигуры, поэтому она также находится внутри образованных частей.
3. Сумма углов любого полученного треугольника равна 180°.

Ответ: точка пересечения находится внутри четырёхугольника, а сумма углов одного из треугольников равна 180°. Здесь важно не смешивать сумму углов треугольника с суммой углов всей фигуры: у четырёхугольника она равна 360°. Оба результата связаны с тем, что диагональ разбивает выпуклую фигуру на два треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: называть диагональю отрезок между соседними вершинами. Так происходит потому, что любой отрезок между вершинами легко принять за диагональ, если не проверить его роль. Но отрезок между соседними вершинами является стороной, а диагональ соединяет только несоседние вершины. Проверьте: если вершины соединены стороной, отрезок не диагональ.

Ошибка: путать соседние и противоположные стороны. Иногда стороны называют по расположению на рисунке, не проверяя вершины. Надёжный способ — проверить, есть ли у двух сторон общая вершина: при её наличии стороны соседние, при отсутствии — противоположные. Для ABCD пары AB и BC соседние, а AB и CD противоположные.

Ошибка: без оговорок применять сумму 360° к любой нарисованной фигуре. Сумму углов выпуклого четырёхугольника получают, разбивая его диагональю на два треугольника; в невыпуклом случае расположение диагоналей и смысл внутреннего угла требуют отдельного внимания. Поэтому сначала проверьте, что фигура выпуклая, и только затем используйте школьный вывод. Если угол невыпуклой фигуры больше 180°, нельзя заменять его меньшим углом на рисунке.

Ошибка: определять вид четырёхугольника только по рисунку. Чертёж может выглядеть как прямоугольник или ромб, хотя равенство сторон и прямизна углов не заданы. Такие свойства нужно брать из условия или доказывать, а не угадывать по форме. Проверьте, есть ли основания считать стороны параллельными или равными и углы прямыми.

Связь с другими темами

Для изучения четырёхугольников нужны знания об элементах многоугольника, видах углов и сумме углов треугольника. Именно свойство треугольника позволяет вывести сумму внутренних углов выпуклого четырёхугольника. Позже эти понятия пригодятся при изучении свойств параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Рассуждение с диагоналями также связано с общей формулой суммы углов многоугольника: фигуру разбивают на треугольники.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре стороны, четыре вершины и четыре угла.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей каждую его сторону.
• Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
• Вид четырёхугольника определяют по свойствам его сторон и углов.