Четырёхугольники

Определения и обозначения

Четырёхугольник — замкнутая фигура, составленная из четырёх отрезков. У неё четыре стороны и четыре угла. Замкнутая означает, что линия не обрывается, а возвращается к начальной точке. Это определение помогает отличить четырёхугольник от незаконченной ломаной.

Вершина четырёхугольника — точка, в которой соединяются две соседние стороны. Вершины обычно обозначают заглавными буквами, например A, B, C и D. По этим обозначениям удобно называть элементы фигуры и понимать, какие точки соединены.

Сторона четырёхугольника — отрезок между двумя соседними вершинами. Если вершины идут по порядку A, B, C, D, стороны называют AB, BC, CD и DA. Буквы показывают концы отрезка, а порядок помогает не перепутать стороны с другими соединяющими точки отрезками.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD являются диагоналями. В отличие от стороны, диагональ соединяет вершины, между которыми по контуру находится ещё одна вершина.

Как это устроено

Четыре отрезка образуют четырёхугольник только тогда, когда концы соседних отрезков соединены друг с другом, а последний отрезок возвращает линию к началу. Иначе получается незамкнутая ломаная: у неё есть разрыв, поэтому внутри не образуется замкнутая фигура. Например, три соединённых отрезка и четвёртый, не доходящий до начала, не образуют четырёхугольник. Проверка замкнутости нужна прежде, чем считать стороны.

Вершины и стороны перечисляют по порядку обхода фигуры, например A, B, C, D, а затем снова A. Так легче увидеть, какие точки соседние: при движении от A следующая вершина — B, поэтому отрезок AB является стороной. Вершины A и C не соседние, потому что между ними по контуру находится B. Это правило не зависит от того, повернута фигура или нарисована под наклоном.

У четырёхугольника четыре угла, потому что в каждой из четырёх вершин встречаются две стороны. Стороны образуют замкнутую ломаную, поэтому каждая сторона имеет конец в вершине и переходит в следующую сторону. Отсюда число сторон и число вершин совпадают: каждой стороне соответствуют вершины на её концах. Угол можно заметить в каждой точке, где направление контура меняется.

Диагонали соединяют не соседние, а противоположные вершины. В четырёхугольнике ABCD из A можно провести диагональ к C, а из B — к D. Других пар несоседних вершин в этой фигуре нет, поэтому диагоналей две. Отрезки AB, BC, CD и DA диагоналями не являются: они идут по контуру и соединяют соседние вершины.

Периметр — это общая длина границы фигуры, поэтому для четырёхугольника складывают длины всех его сторон. Если стороны равны 3 см, 5 см, 4 см и 6 см, запись будет такой: 3 + 5 + 4 + 6 = 18 см. Каждая сторона учитывается один раз, поскольку периметр проходит по контуру фигуры. Единицу измерения записывают в ответе, чтобы было ясно, в каких единицах выражена длина.

Элементы четырёхугольника

Сначала определи, какие точки являются вершинами, и пройди по контуру фигуры. Затем отличи стороны, лежащие на контуре, от диагоналей, которые соединяют несоседние вершины. Таблица помогает проверить, все ли элементы найдены.

Разбор задач

Найдите четырёхугольники среди замкнутых и незамкнутых ломаных

Чтобы выполнить задание, нужно проверить каждую фигуру отдельно. Не следует выбирать фигуру только по внешнему сходству: важны и замкнутость, и точное число отрезков. Если хотя бы одно условие не выполнено, перед нами не четырёхугольник.

1. Проверь, соединён ли конец ломаной с её началом. Если есть разрыв, исключи эту фигуру.
2. У замкнутых фигур сосчитай отрезки, составляющие контур.
3. Выбери те фигуры, в контуре которых ровно четыре отрезка.

Ответ: четырёхугольники — только замкнутые ломаные из четырёх отрезков.

В четырёхугольнике ABCD назовите вершины, стороны и диагонали

Название ABCD задаёт порядок вершин по контуру. Поэтому сначала обойди фигуру от A к B, затем к C, к D и обратно к A. Отрезки между соседними буквами будут сторонами, а между несоседними — диагоналями.

1. Выпиши все обозначенные точки: A, B, C и D.
2. Перечисли отрезки контура: AB, BC, CD и DA.
3. Найди пары несоседних вершин: A и C, B и D. Соедини их и назови диагонали AC и BD.

Ответ: вершины — A, B, C, D; стороны — AB, BC, CD, DA; диагонали — AC, BD.

Длины сторон равны 3 см, 5 см, 4 см и 6 см. Найдите периметр

Периметр показывает общую длину контура. Значит, нужно взять длину каждой стороны и сложить все четыре числа. Перед вычислением проверь, что длины записаны в одинаковых единицах измерения.

1. Запиши сложение длин сторон: 3 см + 5 см + 4 см + 6 см.
2. Сложи числа: 3 + 5 = 8, 8 + 4 = 12, 12 + 6 = 18.
3. Сохрани единицу измерения, указанную у длин сторон.

Ответ: периметр равен 18 см.

Типичные ошибки

Иногда незамкнутую ломаную называют четырёхугольником, потому что в ней насчитали четыре отрезка. Так происходит, если не проверить соединение последнего отрезка с началом. Для проверки проследи контур пальцем: он должен вернуться в исходную точку без разрыва.

Диагональю могут ошибочно назвать отрезок между соседними вершинами. Путаница возникает, когда учитывают только то, что отрезок соединяет две точки, и забывают о соседстве. Сверься с обходом контура: если вершины идут подряд, соединяющий их отрезок — сторона, а не диагональ.

При перечислении сторон иногда включают отрезки между несоседними вершинами или называют отрезки в произвольном порядке. Причина — в том, что вершины не перечислены по порядку обхода. Проверь, что каждая названная сторона лежит на контуре и соединяет именно соседние вершины.

При вычислении периметра можно пропустить сторону или сложить только несколько длин. Такое случается, если считать периметр по отдельным частям, не проверяя полный обход фигуры. Запиши все четыре длины и отметь каждую после сложения: в результате должны участвовать ровно четыре стороны.

Связь с другими темами

Чтобы распознать четырёхугольник, нужно уметь различать отрезки, замкнутые ломаные и углы. Эти знания помогают увидеть, как части фигуры соединяются в целое. Позже понятия стороны, вершины и диагонали пригодятся при изучении прямоугольника, квадрата и других многоугольников.

Периметр связывает геометрию с измерением длины и сложением величин. Сначала измеряют или узнают длины сторон, затем складывают их, сохраняя одинаковые единицы измерения. Так можно найти длину границы фигуры и применять это знание в задачах о разных предметах и участках.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре стороны.
• У четырёхугольника четыре вершины и четыре угла.
• Соседние вершины соединены сторонами.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• У четырёхугольника две диагонали.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.