"Математика (изд. "ДРОФА")", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Дроби помогают описывать части целого, а действия с ними — находить, сколько таких частей вместе или сколько останется. Если знаменатели одинаковые, доли имеют один и тот же размер: поэтому при сложении и вычитании меняют только числители. Умножение дроби на натуральное число означает, что эту дробь берут несколько раз. Понимание этих правил помогает вычислять выражения и решать задачи на части величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дроби с равными знаменателями — дроби, у которых одинаковое число в знаменателе и одинаковый размер долей. Например, в дробях 3/8 и 2/8 целое поделено на восемь равных частей. Такие дроби удобно складывать и вычитать, потому что части имеют одинаковый размер.
Сложение дробей с равными знаменателями — объединение долей с сохранением общего знаменателя. В записи 3/8 + 2/8 складывают количества восьмых долей, а не меняют их размер. Это действие помогает узнать, сколько долей получилось всего.
Вычитание дробей с равными знаменателями — нахождение разности числителей при сохранении общего знаменателя. Например, если из 7/10 убрать 3/10, останутся 4/10. Вычитание используют, когда нужно узнать, сколько долей осталось или на сколько одно количество долей больше другого.
Умножение дроби на натуральное число — сложение одинаковых дробей указанное число раз. Например, 3 · 2/7 означает взять дробь 2/7 три раза. Такой способ записи короче повторного сложения и помогает быстро находить несколько одинаковых частей.
Знаменатель указывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято. Поэтому в дробях с равными знаменателями доли одинаковы по размеру. Когда мы складываем такие дроби, мы просто считаем общее количество одинаковых долей. Например, три восьмых и две восьмых составляют пять восьмых, а каждая доля по-прежнему одна восьмая.
При вычитании происходит обратное: из количества долей убирают некоторое число долей того же размера. Если было 9/12 и убрали 4/12, осталось 5/12. Знаменатель не меняется, потому что целое всё ещё разделено на двенадцать равных частей. Изменилось только количество оставшихся частей.
Смысл дроби как нескольких равных долей объясняет оба правила. Представь полоску, разделённую на семь равных клеток: 2/7 — это две клетки, а 3/7 — три такие же клетки. Вместе они дают пять клеток из семи, а если убрать две клетки из пяти, останутся три. Складывать или вычитать можно именно потому, что клетки имеют одинаковый размер.
Умножить дробь на натуральное число — значит сложить эту дробь с собой столько раз, как показывает число. Например, 4 · 2/9 означает 2/9 + 2/9 + 2/9 + 2/9. При сложении складывают числители, поэтому получится 8/9. Значит, повторное сложение можно заменить умножением числителя на натуральное число.
Из этого получается правило: чтобы умножить дробь на натуральное число, умножь её числитель на это число, а знаменатель оставь прежним. В записи n · a/b = (n · a)/b число n показывает, сколько раз берётся дробь, а a — сколько долей берётся каждый раз. Например, 3 · 2/7 = 6/7. Размер одной доли не меняется, поэтому знаменатель остаётся равен 7.
| Действие | Правило | Буквенная запись | Пример |
|---|---|---|---|
| Сложение дробей | Сложить числители, знаменатель сохранить | a/b + c/b = (a + c)/b | 2/9 + 4/9 = 6/9 |
| Вычитание дробей | Вычесть числители, знаменатель сохранить | a/b − c/b = (a − c)/b | 7/10 − 3/10 = 4/10 |
| Умножение дроби на натуральное число | Умножить числитель на число, знаменатель сохранить | n · a/b = (n · a)/b | 3 · 2/7 = 6/7 |
| Проверка и сокращение полученного результата | Проверить, делятся ли числитель и знаменатель на одно число | a/b = (a : k)/(b : k) | 6/9 = 2/3 |
Сначала найди вид действия и проверь, равны ли знаменатели, если складываешь или вычитаешь дроби. Затем измени только числитель по правилу из таблицы. В конце проверь ответ: при необходимости сократи дробь и запиши его в требуемом виде.
Задача 1. Вычислить: 3/8 + 2/8. У дробей одинаковые знаменатели, значит, слагаемые выражены долями одного размера — восьмыми. Нужно узнать общее число таких долей, поэтому сложим числители. Знаменатель оставим прежним.
Ответ: 5/8. Получилась правильная дробь: из восьми равных частей взяли пять. Знаменатель не складывали, потому что размер долей не менялся.
Задача 2. Вычислить: 11/15 − 7/15. Обе дроби показывают пятнадцатые доли, поэтому можно вычесть количество долей. После этого отдельно проверим, сокращается ли полученная дробь. Такая проверка нужна, чтобы ответ был записан как можно проще.
Ответ: 4/15. Из одиннадцати пятнадцатых убрали семь пятнадцатых, и осталось четыре пятнадцатых. Результат уже записан в несократимом виде.
Задача 3. Вычислить: 2 · 3/7 + 1/7. В выражении есть умножение дроби на натуральное число и сложение дробей. Сначала заменим умножение действием по правилу: числитель умножим на 2, а знаменатель оставим равным 7. После этого обе дроби будут иметь одинаковый знаменатель, и их можно будет сложить.
Ответ: 1. Проверить результат можно по смыслу: семь долей, каждая из которых равна одной седьмой, составляют целое. Здесь сначала выполнялось умножение, а затем сложение.
Складывают или вычитают знаменатели. Так бывает, если правило для целых чисел переносят на дроби: например, ошибочно получают 3/8 + 2/8 = 5/16. Но доли остаются восьмыми, поэтому знаменатель сохраняется. Проверь себя: если знаменатели были одинаковыми, в ответе должен остаться тот же знаменатель.
При умножении дроби на число умножают и числитель, и знаменатель. Часто это происходит из-за смешения с другими действиями с дробями. При умножении на натуральное число складывают одинаковые дроби, поэтому увеличивается только количество долей — числитель. Проверь вычисление повторным сложением: 2 · 3/7 = 3/7 + 3/7 = 6/7, а не 6/14.
Применяют правило к дробям с разными знаменателями. Можно по привычке сложить числители, не заметив, что доли имеют разный размер. Например, 1/3 и 1/4 — это не одинаковые части целого, поэтому правило для равных знаменателей здесь не подходит. Перед вычислением сравни знаменатели; если они разные, остановись и используй другой способ.
Не проверяют и не оформляют результат. После вычисления можно оставить дробь, которую ещё удаётся сократить, или не заметить, что неправильная дробь равна целому числу. Ошибка возникает, когда останавливаются сразу после первого действия. Проверь, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, а также требуется ли представить ответ в другом виде.
Для этой темы нужно знать, что показывают числитель и знаменатель, понимать смысл долей целого, уметь сравнивать дроби с равными знаменателями и пользоваться таблицей умножения. Умножение дроби на натуральное число связано с умножением как многократным сложением: так становится понятным правило для числителя. Дальше эти знания пригодятся при действиях с дробями с разными знаменателями, решении уравнений и задачах на части величины. Например, можно будет вычислить, какую часть запаса использовали или сколько его осталось.
Почему знаменатель при сложении дробей не складывают?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, то есть задаёт размер долей. Если складываем доли одного размера, их количество меняется, а размер — нет, поэтому складывают числители.
Можно ли применять это правило, если знаменатели разные?
Нет, правило сложения и вычитания числителей подходит только для дробей с одинаковыми знаменателями. При разных знаменателях доли имеют разный размер, поэтому сначала нужно научиться представлять дроби с одинаковым знаменателем.
Что делать, если числитель после вычитания равен нулю?
Дробь с нулём в числителе равна нулю, например 5/8 − 5/8 = 0/8 = 0. Это значит, что от исходного количества долей ничего не осталось.
Почему при умножении дроби на натуральное число знаменатель не умножают?
Умножение на натуральное число означает повторное сложение одинаковых дробей. При этом число долей увеличивается, но каждая доля остаётся прежнего размера, поэтому изменяется числитель, а знаменатель сохраняется.
Как понять, нужно ли сокращать ответ?
Проверь, можно ли разделить числитель и знаменатель на одно и то же число без остатка. Если можно, сократи дробь: её значение не изменится, а запись станет проще.
Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями. Умножение дроби на натуральное число
