"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Многоугольник — фигура, граница которой состоит из отрезков, а периметр показывает общую длину этой границы. Чтобы найти его, нужно сложить длины всех сторон, учитывая каждую ровно один раз и записывая их в одинаковых единицах. Если все стороны равны, достаточно умножить длину одной стороны на их число. Периметр помогает вычислять, например, длину ограждения вокруг участка или рамки вокруг рисунка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — это фигура, ограниченная замкнутой ломаной, то есть цепочкой отрезков, конец которой соединён с началом. Отрезки этой ломаной называют сторонами, а точки, в которых они соединяются, — вершинами. Это определение помогает отличить многоугольник от фигуры с незамкнутой границей и увидеть, какие отрезки нужно измерять.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обычно периметр обозначают латинской буквой P. Такое обозначение удобно использовать в вычислениях и записях, когда нужно отделить общую длину границы от длины отдельной стороны.
Длины сторон и периметр выражают в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах, метрах и других. При вычислении все слагаемые должны быть записаны в одинаковых единицах, иначе их нельзя правильно сложить. Поэтому, например, перед сложением метров и сантиметров одну из величин переводят в другую единицу.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны. Для такой фигуры достаточно знать длину одной стороны и число сторон: вместо многократного сложения одинаковых чисел можно выполнить умножение. Это свойство упрощает вычисление, но применять его можно только при равенстве всех сторон.
Периметр описывает длину пути вдоль границы фигуры. Поэтому для его нахождения нужно обойти границу целиком и сложить длины всех участков — сторон. Если пропустить сторону, часть границы не попадёт в сумму; если посчитать одну сторону дважды, результат окажется больше нужного. Удобно начать с любой вершины и двигаться в одном направлении, отмечая уже учтённые стороны.
Число сторон можно определить по условию или по изображению: нужно посчитать отрезки замкнутой ломаной, а не только вершины, подписанные числа или видимые метки длины. Затем каждой стороне сопоставляют её длину из условия или подпись на рисунке. Если одинаковые обозначения относятся к разным сторонам, каждую из этих сторон всё равно включают в сумму отдельно.
У правильного многоугольника длины сторон одинаковы. Если сторона имеет длину a, а сторон всего n, то периметр равен сумме n одинаковых слагаемых: a + a + … + a. Такую сумму заменяют произведением P = a · n. Например, при стороне 3 см у шестиугольника нужно взять шесть одинаковых отрезков по 3 см, то есть умножить 3 на 6.
Если длины сторон даны в разных единицах, сначала их переводят в одну единицу, а уже потом складывают. Причина проста: число 1 в записи «1 м» обозначает не то же расстояние, что число 1 в записи «1 см». Например, 1 м и 20 см можно сложить после перевода 1 м в 100 см: получится 100 см + 20 см = 120 см. В конце ответ можно при необходимости выразить в более удобной единице.
Когда известен периметр и длины всех сторон, кроме одной, неизвестную сторону можно найти обратным действием. Сначала складывают длины известных сторон: эта сумма показывает, какая часть периметра уже учтена. Затем из всего периметра вычитают найденную сумму. Так получают длину недостающей стороны, потому что все стороны вместе должны составить заданный периметр.
| Что известно | Как найти периметр | Запись |
|---|---|---|
| Длины всех сторон | Сложить длины сторон, учитывая каждую один раз | P = a₁ + a₂ + … + aₙ |
| Правильный многоугольник: длина стороны и число сторон | Умножить длину стороны на число сторон | P = a · n |
| Периметр и длины всех сторон, кроме одной | Вычесть сумму известных сторон из периметра | a = P − (a₁ + … + aₙ₋₁) |
| Длины сторон выражены в разных единицах | Сначала перевести длины в одну единицу, затем сложить | Сначала перевод, затем сложение |
Найдите в таблице строку, которая соответствует данным задачи, и выберите подходящее действие. Перед вычислением проверьте, одинаковы ли единицы длины и не требуется ли найти не весь периметр, а отдельную сторону. В записи P = a · n буква a обозначает длину одной стороны, а n — число сторон правильного многоугольника.
Нужно найти общую длину границы треугольника. В условии дана длина каждой из трёх сторон, причём все значения уже выражены в сантиметрах. Поэтому складываем три длины, проверяя, что ни одна сторона не потеряна.
Ответ: периметр треугольника равен 16 см.
Шестиугольник имеет шесть сторон, а правильный шестиугольник — все стороны одной длины. Значит, длину каждой из шести сторон можно заменить длиной 3 см. Вместо шести одинаковых слагаемых используем умножение.
Ответ: периметр правильного шестиугольника равен 18 см.
Периметр четырёхугольника равен 31 см, а три стороны имеют длины 6 см, 8 см и 9 см. Нужно узнать, сколько сантиметров приходится на оставшуюся сторону. Сначала выясним, какую часть всего периметра составляют известные стороны, а затем найдём разницу.
Ответ: четвёртая сторона равна 8 см.
Можно сложить не все стороны или случайно посчитать одну из них дважды. Такое бывает, если перескакивать по границе или ориентироваться только на подписи длин. Чтобы проверить себя, перечислите стороны по порядку и сравните число слагаемых с числом сторон многоугольника.
Иногда длину стороны умножают на число сторон у любого многоугольника. Это верно лишь тогда, когда все стороны равны, то есть для правильного многоугольника. Проверьте, сказано ли в условии, что фигура правильная, или указано ли равенство всех сторон; иначе нужно сложить их длины отдельно.
Складывать метры и сантиметры как обычные числа нельзя: единицы обозначают разные величины. Ошибка возникает, когда сосредотачиваются на числах и забывают про единицы измерения. Перед сложением переведите каждую длину в одну единицу и после вычисления ещё раз проверьте подписи единиц.
Периметр иногда записывают в квадратных сантиметрах, путая его с площадью. Площадь измеряет размер поверхности, а периметр — длину границы, поэтому для него нужны обычные единицы длины. Убедитесь, что ответ записан, например, в сантиметрах или метрах, а не в см² или м².
Для вычисления периметра пригодятся умение измерять и сравнивать отрезки, складывать натуральные числа и переводить единицы длины. Эти навыки позволяют правильно работать с каждой стороной и записать итог в подходящих единицах. Понятие периметра используется в практических задачах о длине ограждения, рамки или маршрута вдоль границы фигуры. Оно также готовит к изучению периметров и площадей геометрических фигур: эти величины связаны с фигурой, но описывают разные её свойства.
Что называют периметром многоугольника?
Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Его обычно обозначают буквой P и выражают в единицах длины.
Как не пропустить сторону при вычислении периметра?
Перечисляйте стороны по порядку вдоль замкнутой границы, начиная с любой вершины. Сверьте число слагаемых с числом сторон и убедитесь, что каждая сторона встречается один раз.
Можно ли периметр правильного многоугольника найти умножением?
Да, если известна длина стороны и число сторон. Умножьте длину одной стороны на число сторон, потому что все стороны правильного многоугольника равны.
Что делать, если длины сторон записаны в разных единицах?
Сначала переведите все длины в одну и ту же единицу. Затем сложите их и запишите ответ в этой единице.
В каких единицах измеряют периметр?
Периметр измеряют в единицах длины: например, в миллиметрах, сантиметрах, метрах или километрах. Квадратные единицы используют для площади, а не для периметра.
Периметр многоугольника
