Окружность, её центр и радиус

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Например, если все точки линии удалены от выбранной точки на 3 см, эта линия образует окружность. Такое определение помогает отличить окружность от произвольной замкнутой линии. Окружность состоит только из точек самой линии, а не из всей области внутри неё.

Центр окружности — точка, от которой все точки окружности равноудалены; обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он задаёт положение окружности: перемещение центра переносит всю окружность на плоскости. На чертеже центр отмечают точкой и подписывают буквой. Благодаря обозначению удобно точно указывать, от какой точки измеряют расстояния.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; радиусом также называют длину этого отрезка. Например, если A лежит на окружности с центром O, отрезок OA является радиусом. Длину радиуса используют, чтобы задать размер окружности и построить её циркулем. Буквами OA можно обозначить отрезок, а записью OA = 3 см — его длину.

Как это устроено

Для задания окружности достаточно указать одну точку и расстояние. Точка становится центром, а расстояние от неё до каждой точки линии — радиусом. Если изменить центр, окружность переместится, потому что все её точки должны отсчитываться уже от другого места. Если оставить центр прежним, но изменить радиус, окружность станет больше или меньше.

На чертеже центр отмечают и подписывают, а радиус показывают отрезком от центра до линии. Причина такого способа проста: чтобы увидеть радиус, нужно показать и его начало, и точку, до которой он проведён. Например, у окружности с центром O отрезок OA будет радиусом, если A лежит на окружности. Отрезок от O до точки внутри линии радиусом не является, даже если он нарисован внутри окружности.

Все радиусы одной окружности равны, потому что расстояние от центра до любой её точки задано одним и тем же числом. Например, если радиус равен 4 см, то отрезки от центра до разных точек окружности каждый имеют длину 4 см. Иначе точка с другим расстоянием не принадлежала бы этой окружности. Поэтому по одному радиусу можно определить длину всех остальных радиусов.

Чтобы построить окружность циркулем, сначала отмечают её центр, а затем устанавливают раствор циркуля равным нужному радиусу. Иглу ставят в центр, а карандашную ножку вращают вокруг него, не меняя раствора. При вращении расстояние между ножками сохраняется, поэтому карандаш всё время находится на заданном расстоянии от центра. Именно это свойство и создаёт окружность.

Положение точки определяют, сравнивая её расстояние до центра с радиусом. Если расстояния равны, точка принадлежит окружности, потому что удовлетворяет её определению. Если расстояние меньше радиуса, точка расположена внутри; если больше — снаружи. Сравнение надёжнее, чем оценка на глаз по рисунку, ведь чертёж может быть выполнен не в точном масштабе.

Элементы окружности и положение точек

Сначала найдите в таблице рассматриваемый объект или положение точки, затем проверьте соответствующее условие. Для точки нужно знать расстояние от неё до центра и сравнить его с радиусом. Таблица позволяет не путать точку на линии с точкой внутри неё.

Разбор задач

Построение окружности

Задача: постройте окружность с центром O и радиусом 3 см. Даны и положение центра, и нужное расстояние, поэтому можно сразу работать циркулем. Радиус не нужно откладывать по всей окружности: достаточно установить его длину между ножками инструмента. Затем циркуль сохранит это расстояние при вращении.

1. Отметьте на листе точку O и подпишите её. Это будет центр будущей окружности.
2. Линейкой установите раствор циркуля равным 3 см. Проверьте расстояние между иглой и карандашом, прежде чем ставить иглу в точку O.
3. Поставьте иглу в O и, не меняя раствор, поверните циркуль вокруг центра. Карандашная ножка начертит все точки, удалённые от O на 3 см.

Проверка: расстояние от центра до линии должно совпадать с раствором циркуля. Если раствор изменился во время черчения, окружность получится неточной. Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см.

Определение положения точек

Задача: радиус окружности с центром O равен 4 см. Точки A, B и C удалены от O соответственно на 4 см, 2 см и 5 см. Чтобы определить положение каждой точки, сравним её расстояние с радиусом 4 см. Равенство означает принадлежность окружности, а меньшая или большая длина указывает на внутреннюю или внешнюю область.

1. Для A расстояние OA равно 4 см, то есть радиусу. Значит, A лежит на окружности.
2. Для B расстояние OB равно 2 см и меньше 4 см. Поэтому B находится внутри окружности.
3. Для C расстояние OC равно 5 см и больше 4 см. Следовательно, C находится вне окружности.

Здесь не требуется строить окружность: достаточно сравнить три известные длины с радиусом. Проверка состоит в том, чтобы для каждой точки отдельно определить, равно ли расстояние радиусу, меньше или больше него. Ответ: A — на окружности, B — внутри, C — вне окружности.

Нахождение разности расстояний

Задача: точка A лежит на окружности с центром O, а точка B находится внутри неё. Известно, что OA = 6 см и OB = 4 см. Нужно узнать, на сколько сантиметров расстояние от B до O меньше радиуса. Так как A лежит на окружности, отрезок OA является радиусом, значит, радиус равен 6 см.

1. Запишите длину радиуса: r = OA = 6 см. Это следует из того, что точка A принадлежит окружности.
2. Сравните радиус с расстоянием OB: 6 см больше 4 см. Условие о положении B внутри окружности этому соответствует.
3. Найдите разность: 6 − 4 = 2 см. Эта разность показывает, насколько расстояние OB меньше радиуса.

Проверка: расстояние внутренней точки должно быть меньше радиуса, и 4 см действительно меньше 6 см. Ответ: расстояние от B до O меньше радиуса на 2 см.

Типичные ошибки

Иногда окружностью называют область внутри замкнутой линии. Это происходит потому, что в быту словом «окружность» могут обозначать всю круглую фигуру. В геометрии окружность — только линия, а область вместе с ней называют кругом. Проверьте себя: речь идёт о точках линии или обо всех точках внутри неё.

Радиусом ошибочно считают любой отрезок, проведённый внутри окружности. Обычно так происходит, если не проверяют, где находятся концы отрезка. Радиус обязан начинаться в центре и заканчиваться на окружности. Перед тем как назвать отрезок радиусом, проверьте оба его конца.

Некоторые предполагают, что радиусы одной окружности могут быть разной длины, например из-за того, что на рисунке отрезки выглядят неодинаково. Вид чертежа бывает неточным, но определение окружности задаёт одно расстояние от центра до всех её точек. Поэтому все радиусы равны. Проверяйте это по свойству окружности, а не по внешнему виду изображения.

Точку внутри окружности иногда принимают за точку на ней, если она нарисована близко к линии. Причина ошибки — попытка определить положение только на глаз. Измерьте расстояние от точки до центра и сравните его с радиусом: равные длины соответствуют точке на окружности, меньшее расстояние — точке внутри. Так вы избежите путаницы даже на схематичном рисунке.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь измерять и сравнивать длины отрезков, пользоваться циркулем и различать точку и отрезок. Эти навыки помогают и при построении, и при проверке положения точки. Окружность служит основой для изучения круга, диаметра и длины окружности. Её свойства также используют в геометрических построениях, когда требуется отложить одинаковые расстояния от выбранного центра.

Что запомнить

• Окружность — линия, а не вся область внутри неё.
• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Точка лежит на окружности, если её расстояние до центра равно радиусу.
• Радиус можно отложить циркулем от центра до окружности.