Взаимное расположение фигур на плоскости

Определения и обозначения

Взаимное расположение фигур на плоскости — это то, как две фигуры находятся одна относительно другой. Его описывают через общие точки, то есть точки, принадлежащие сразу обеим фигурам. Такой подход позволяет точно сравнивать фигуры, даже если чертёж выполнен не совсем точно.

Пересекающиеся фигуры — это фигуры, у которых есть хотя бы одна общая точка. Общая точка принадлежит каждой из фигур одновременно. Определение нужно, чтобы отличать настоящее пересечение от кажущегося сближения линий на рисунке.

Непересекающиеся фигуры — это фигуры, у которых нет ни одной общей точки. Они могут находиться далеко друг от друга или подходить очень близко, но не иметь общей точки. Проверка этого условия помогает установить, что фигуры не пересекаются.

Общая часть фигур — это фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат обеим фигурам. Отдельные общие точки называют точками, а вся их совокупность может образовать, например, отрезок или другую фигуру. Значит, общая часть описывает не одну выбранную точку, а весь результат пересечения.

Как это устроено

Положение двух фигур определяют сравнением их точек, потому что любая геометрическая фигура состоит из точек. Сначала проверяют, существует ли точка, принадлежащая обеим фигурам. Если такая точка найдена, фигуры пересекаются; если таких точек нет, они непересекающиеся.

Общая точка не обязана быть единственной. У фигур может быть одна общая точка, несколько отдельных точек или целая общая часть. Поэтому после обнаружения пересечения полезно выяснить не только факт пересечения, но и форму и число общих точек.

Точка и отрезок имеют общую точку, если точка лежит на отрезке. Два отрезка пересекаются, когда у них есть хотя бы одна общая точка, например конец одного отрезка лежит на другом. Если отрезки частично накладываются, их общей частью будет отрезок, а при полном совпадении общими будут все точки обоих отрезков.

Две окружности могут не иметь общих точек, касаться в одной точке или пересекаться в двух точках. Это зависит от расстояния d между центрами и радиусов r₁ и r₂: окружности должны быть достаточно близко, чтобы встретиться, но ни одна не должна полностью отделять другую. Поэтому сравнивают d не только с суммой радиусов, но и с их разностью.

Для прямой и окружности возможны три случая: общих точек нет, одна общая точка или две общие точки. Одна точка появляется, когда прямая касается окружности, а две — когда проходит через неё. Тот же способ рассуждения применяют к другим фигурам: находят общие точки и описывают их количество или общую часть.

Варианты взаимного расположения фигур

Таблицу используют как схему проверки: сначала выбирают пару фигур, затем устанавливают число общих точек. Если общие точки образуют отрезок или другую фигуру, выбирают последний вариант. Для конкретной задачи нужно учитывать особенности данных фигур.

Разбор задач

Задача 1. Начерти два отрезка, которые не имеют общих точек, имеют одну общую точку и имеют общий отрезок. Нужно получить три разных случая расположения, а не просто три похожих рисунка.

1. Для первого случая начерти два отрезка, расположенных на разных местах или на параллельных линиях. У них нет общей точки, поэтому отрезки непересекающиеся.
2. Для второго случая расположи отрезки так, чтобы конец одного лежал на другом, но сами отрезки не накладывались. Их общая часть будет одной точкой.
3. Для третьего случая проведи отрезки на одной прямой так, чтобы они частично перекрывались. Все точки перекрытия образуют общий отрезок.

Ответ: нужны три рисунка: без общих точек, с одной общей точкой и с общим отрезком.

Задача 2. Расстояние между центрами двух окружностей равно 7 см, радиусы равны 3 см и 4 см. Определи взаимное расположение окружностей.

1. Найди сумму радиусов: 3 + 4 = 7 см.
2. Сравни расстояние между центрами с суммой радиусов: d = 7 см и r₁ + r₂ = 7 см.
3. Равенство означает, что окружности соприкасаются с внешней стороны в одной точке. Это внешний случай касания.

Ответ: окружности касаются, у них одна общая точка.

Задача 3. Расстояние между центрами окружностей равно 5 см, радиусы равны 4 см и 2 см. Нужно узнать число общих точек.

1. Вычисли сумму радиусов: 4 + 2 = 6 см, и разность радиусов: 4 − 2 = 2 см.
2. Сравни расстояние с этими значениями: 2 < 5 < 6.
3. Расстояние больше разности и меньше суммы радиусов. Значит, каждая окружность проходит через область другой, и они встречаются в двух точках.

Ответ: окружности имеют две общие точки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что пересечение обязательно означает несколько общих точек. Так думают из-за привычного изображения крест-накрест, но пересечение может состоять из одной точки. Проверь себя вопросом: есть ли хотя бы одна общая точка?

Ошибка: путать касание с отсутствием пересечения. При касании фигуры соприкасаются, поэтому общая точка есть. Найди точку соприкосновения и посчитай её: если она одна, это касание.

Ошибка: при сравнении окружностей использовать только сумму радиусов. Тогда можно пропустить случай, когда одна окружность находится внутри другой и не пересекается. Всегда сравнивай расстояние между центрами и с суммой, и с разностью радиусов.

Ошибка: называть фигуры пересекающимися только по рисунку. Неточный чертёж может создать впечатление пересечения или зазора. Проверь принадлежность общей точки обеим фигурам или используй данные задачи.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о точке, прямой, отрезке, окружности, центре и радиусе. Эти понятия позволяют определить, какие точки принадлежат каждой фигуре и где возможна общая часть.

Знания пригодятся при построении фигур, изучении взаимного расположения прямых и окружностей, а также в геометрических доказательствах. По общим точкам часто устанавливают, возможно ли нужное построение и какие случаи нужно рассмотреть.

Что запомнить

• Расположение фигур определяют по наличию и числу общих точек.
• Пересекающиеся фигуры имеют хотя бы одну общую точку.
• Непересекающиеся фигуры не имеют общих точек.
• При касании фигуры имеют одну общую точку.
• Окружности могут иметь ноль, одну или две общие точки.
• Для двух окружностей сравнивают расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов.