Вычитание двузначных чисел (общий случай)

Определения и обозначения

Двузначное число — это число, записанное двумя цифрами: первая показывает количество десятков, а вторая — количество единиц. Например, в числе 47 четыре десятка и семь единиц. Такое представление помогает понять, какие части числа мы вычитаем, и не смешивать десятки с единицами.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Результат действия называется разностью: в записи 63 − 28 = 35 уменьшаемое — 63, вычитаемое — 28, разность — 35. Эти названия нужны, чтобы описывать порядок вычислений и проверять ответ.

Разряд — место цифры в записи числа: у двузначного числа это разряд десятков и разряд единиц. При вычитании по разрядам единицы вычитают из единиц, а десятки — из десятков. Если единиц в уменьшаемом недостаточно, один десяток заменяют десятью единицами; этот обмен называют переходом через разряд.

Как это устроено

Двузначные числа можно представить суммой десятков и единиц: 58 = 50 + 8, а 23 = 20 + 3. Когда в каждом разряде уменьшаемого хватает цифр для вычитания, находят разность десятков и разность единиц, а затем складывают результаты. Например, в 58 − 23 единиц достаточно: 8 − 3 = 5, а 5 десятков − 2 десятка = 3 десятка. Получается 35, потому что разряды в исходных числах независимы, пока для вычитания не требуется обмен.

Общий случай возникает, когда цифра единиц уменьшаемого меньше цифры единиц вычитаемого. Например, из 3 единиц нельзя вычесть 8 единиц, оставаясь в пределах этого разряда. Но число 63 можно разложить иначе: вместо 6 десятков и 3 единиц взять 5 десятков и 13 единиц. Значение числа не изменилось, ведь один десяток — это ровно 10 единиц, а 60 + 3 = 50 + 13.

После обмена единицы вычитают из единиц, а десятки — из десятков. В примере 63 − 28 сначала получаем 13 − 8 = 5 единиц; при этом для десятков остаётся 5, а не 6 десятков. Затем вычисляем 5 десятков − 2 десятка = 3 десятка, поэтому ответ — 35. Уменьшение числа десятков обязательно: иначе один и тот же десяток был бы учтён дважды.

При вычислении в столбик числа записывают так, чтобы единицы находились под единицами, а десятки — под десятками. Начинают с правого разряда, то есть с единиц, и при необходимости отмечают, что десяток заняли: количество десятков уменьшается на 1. Такой порядок помогает следить за обменом и не перепутать цифры. В уме удобно проговаривать те же шаги: «занял один десяток, вычел единицы, затем вычел десятки».

Примеры вычислений

Сначала сравните цифры единиц: если верхняя меньше нижней, понадобится обменять десяток на десять единиц. Затем выполните вычитание в каждом разряде, учитывая, что после обмена десятков стало на один меньше. Таблица показывает оба случая и помогает проверить, откуда берутся цифры ответа.

Разбор задач

Задача. В коробке было 72 карандаша. Для занятия взяли 38 карандашей. Сколько карандашей осталось в коробке? Чтобы ответить, нужно из количества карандашей, которое было сначала, вычесть количество взятых. В записи 72 − 38 единиц не хватает для обычного вычитания: 2 меньше 8, значит, потребуется переход через разряд.

1. Запишем выражение: 72 − 38. Число 72 — уменьшаемое, потому что именно из него вычитаем количество взятых карандашей; 38 — вычитаемое. Сначала рассматриваем единицы, так как действие выполняют справа налево по разрядам.

2. Заменим один десяток десятью единицами. В числе 72 было 7 десятков и 2 единицы, а теперь для вычисления берём 6 десятков и 12 единиц. Число осталось тем же, потому что 70 + 2 = 60 + 12.

3. Вычтем единицы: 12 − 8 = 4. После обмена в разряде десятков осталось 6 десятков, поэтому при переходе к следующему разряду нельзя продолжать считать, будто десятков всё ещё семь. Это правило сохраняет правильное значение числа.

4. Вычтем десятки: 6 − 3 = 3 десятка. Соединим полученные части: 3 десятка и 4 единицы — это 34. Следовательно, после того как взяли карандаши, в коробке осталось 34 карандаша.

5. Проверим вычисление сложением: к разности 34 прибавим вычитаемое 38. Получаем 34 + 38 = 72, то есть исходное количество карандашей. Проверка подтверждает, что разность найдена верно и ответ подходит к условию задачи.

Ответ: 34 карандаша.

Типичные ошибки

• Вычитают меньшую цифру из большей в разряде единиц. Например, для 63 − 28 записывают 8 − 3, потому что так проще получить положительное число. Эту ошибку допускают, забывая, что порядок действия важен: вычитаемое нельзя менять местами с уменьшаемым. Проверьте себя: в разряде единиц должно быть 13 − 8, а десятков после обмена должно остаться 5.

• Занимают десяток, но не уменьшают число десятков. Тогда один десяток учитывают и как десяток, и как десять единиц, поэтому ответ получается завышенным. Ошибка возникает, если обмен воспринимают как добавление единиц, а не как замену одной части числа другой. Проверьте запись: при обмене десятков становится ровно на один меньше.

• Путают разряды при записи в столбик. Если единицы записаны под десятками, действия выполняются с неверными цифрами. Так бывает, когда числа выравнивают по левому краю, а не по разрядам. Перед вычислением проверьте, что цифры единиц стоят в одном столбце, а десятки — в другом.

• Не проверяют результат. Из-за одной неверной цифры ошибка может остаться незамеченной, хотя порядок действий кажется правильным. Проверка сложением помогает обнаружить её: прибавьте вычитаемое к полученной разности. Если сумма не равна уменьшаемому, нужно заново проверить вычисления по разрядам.

Связь с другими темами

Вычитание двузначных чисел опирается на знание состава числа и разрядов: десятки можно разменивать на единицы, не меняя значения числа. Оно связано с вычитанием однозначных чисел, потому что каждый отдельный разряд требует выполнить знакомое действие. Тот же обмен разрядами понадобится при вычитании многозначных чисел. Проверка сложением связана с обратными действиями: сложение позволяет убедиться, что вычитание выполнено верно.

Что запомнить

• Записывай числа по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками.
• Начинай вычитание с единиц.
• Если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого, замени один десяток десятью единицами.
• После обмена десятков становится на один меньше.
• Проверь разность сложением: разность + вычитаемое = уменьшаемое.