Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка — маленькая отметка, которую обозначают заглавной буквой: А, В, С. Она не имеет длины и ширины в геометрическом смысле, а только показывает положение. Точки нужны, чтобы задавать концы отрезков, начало луча и вершину угла.

Прямая — линия, которая не имеет концов и продолжается в обе стороны. Её обозначают одной строчной буквой или двумя точками, лежащими на ней, например прямая а или АВ. На листе мы рисуем только часть прямой, потому что бесконечную линию целиком изобразить нельзя.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя концами. Его обозначают двумя заглавными буквами концов, например АВ, и можно измерить линейкой. Отрезки нужны, когда требуется узнать точное расстояние между двумя точками.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла; в записи ∠АОВ буква О обозначает вершину. Углы помогают описывать поворот и наклон линий, поэтому их измеряют и сравнивают.

Как это устроено

Через две различные точки можно провести только одну прямую, потому что обе точки однозначно задают её направление. Если попытаться провести другую прямую через те же точки, она совпадёт с первой. Третья точка может лежать на этой прямой или находиться вне её, но новой прямой через первые две она не создаёт.

Из прямой получают луч, если выбрать на ней начальную точку и оставить продолжение только в одну сторону. Начало становится границей луча, а дальше он продолжается бесконечно. Если поставить вторую границу, получится отрезок: у него уже есть начало и конец, поэтому он имеет определённую длину.

Угол строят так: сначала отмечают вершину, затем проводят из неё два луча. Общая точка лучей является вершиной, а лучи — сторонами угла. Величина угла зависит от того, насколько повернули одну сторону относительно другой: чем сильнее раскрытие, тем больше угол, даже если стороны имеют разную длину.

Чтобы сравнить отрезки, их можно приложить концами друг к другу или измерить линейкой. При измерении нулевую отметку совмещают с одним концом, а у другого конца смотрят число сантиметров и миллиметров. Углы сравнивают наложением или измеряют транспортиром, который показывает величину в градусах.

Прямой угол равен 90° и похож на угол в угольнике. Острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол равен 180°: его стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Сравнение основных геометрических фигур

В таблице сначала найдите нужную фигуру, а затем сравните её обозначение и границы с другими фигурами. Столбец об измерениях помогает понять, какую величину можно узнать с помощью прибора. В последнем столбце даны словесные примеры того, как фигура выглядит на чертеже.

Разбор задач

Задача 1. Прямая, луч и отрезок

На рисунке отмечены точки А, В и С. Нужно назвать прямую, луч и отрезок, которые можно составить с использованием этих точек. Будем каждый раз проверять, есть ли у фигуры концы и какая точка является началом луча.

1. Прямую можно обозначить двумя точками, например АВ; порядок букв для прямой не меняет её названия.
2. Луч назовём ВС, если он начинается в точке В и проходит через точку С. Запись СВ обозначила бы луч с другим началом.
3. Отрезок назовём АС, потому что его концами являются точки А и С. Для отрезка порядок букв обычно не меняет саму фигуру.

Ответ: прямая АВ, луч ВС, отрезок АС. Если точки расположены на одной линии, можно выбрать и другие подходящие пары, но при луче первой всегда записывают его начало.

Задача 2. Построение и деление отрезка

Нужно построить отрезок АВ длиной 6 см, отметить на нём точку С и определить длины получившихся частей. Пусть точка С находится на расстоянии 2 см от А. Тогда отрезок разделится на АС и СВ, а их длины в сумме должны дать 6 см.

1. Приложим линейку нулевой отметкой к точке А и поставим точку В у отметки 6 см.
2. На отрезке отложим от А 2 см и обозначим полученную точку буквой С. Поэтому АС = 2 см.
3. Найдём вторую часть вычитанием: СВ = АВ − АС = 6 см − 2 см = 4 см.
4. Проверим результат сложением: АС + СВ = 2 см + 4 см = 6 см.

Ответ: АС = 2 см, СВ = 4 см. Проверка сложением подтверждает, что части полностью составляют исходный отрезок АВ.

Задача 3. Измерение угла

Нужно построить угол АОВ, измерить его транспортиром и определить вид. Вершина здесь обозначена буквой О, поэтому именно её совмещают с центром транспортира.

1. Проведём из точки О два луча ОА и ОВ, получив угол АОВ.
2. Поставим центр транспортира на точку О, а его нулевую линию совместим со стороной ОА.
3. Выберем шкалу, которая начинается с 0° у луча ОА, и посмотрим, на каком делении лежит луч ОВ. Пусть получаем 120°.
4. Сравним 120° с 90° и 180°: число больше 90°, но меньше 180°.

Ответ: ∠АОВ = 120°, это тупой угол. Если при измерении получилось число, не соответствующее виду нарисованного угла, нужно проверить центр, нулевую отметку и выбранную шкалу.

Типичные ошибки

Иногда прямую рисуют с двумя концами и считают отрезком. Так происходит потому, что край листа или карандашная линия создают видимые границы. Проверьте себя: если линия должна продолжаться в обе стороны, поставьте стрелки и вспомните, что нарисована только её часть.

В обозначении луча могут поменять порядок букв или назвать его одной буквой. Ошибка появляется, когда забывают, что первая буква показывает начало, а вторая — направление. Проверьте запись: проведите мысленно стрелку от первой точки ко второй.

При измерении отрезка линейку прикладывают не от нулевой отметки. Тогда число на линейке показывает положение конца, а не настоящую длину отрезка. Перед чтением результата убедитесь, что отметка 0 совпала с первым концом.

При измерении угла выбирают не ту шкалу или не совмещают центр транспортира с вершиной. Это даёт неправильное число, часто дополняющее настоящий результат до 180°. Проверьте положение прибора и сравните ответ с видом угла: острым, прямым или тупым.

Связь с другими темами

Перед изучением геометрических фигур нужно уметь различать точки на чертеже и пользоваться линейкой. Полезно знать единицы длины: сантиметр и миллиметр. Тогда построение и измерение отрезков будет точным.

Отрезки и углы встречаются при изучении периметра, площади и многоугольников. С их помощью описывают стороны фигур, их размеры и форму. Навык измерения помогает проверять решения задач.

Обозначения точек и отрезков нужны при работе с координатным лучом. Они также используются в геометрических чертежах и построениях. Умение читать такие записи помогает понимать условие задачи.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной буквой.
• Через две различные точки можно провести одну прямую.
• Отрезок имеет два конца и определённую длину.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Угол образуют два луча с общей вершиной.
• Прямой угол равен 90°, развернутый — 180°.
• Длину измеряют линейкой, а угол — транспортиром.