Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка — это отметка, показывающая определённое место на чертеже. Её обозначают заглавной латинской буквой: A, B или O. Точка не похожа на линию: она только указывает, где находится место. Такие обозначения помогают точно говорить о фигурах и строить их.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. На чертеже её обычно изображают лишь частью, потому что всю прямую нарисовать нельзя. Прямую можно обозначить строчной латинской буквой или назвать по двум точкам, лежащим на ней, например прямой AB. Это позволяет отличать одну линию от другой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются его концами. Отрезок с концами A и B записывают как AB. В отличие от прямой, отрезок имеет определённую длину, которую можно измерить. Такое обозначение показывает, между какими точками нужно рассматривать часть линии.

Угол образуют два луча с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Если вершина O, а стороны проходят через A и B, угол записывают ∠AOB, помещая букву вершины между буквами сторон. Это нужно, чтобы было понятно, какой именно угол отмечен на чертеже.

Как это устроено

Построение многих фигур начинается с точек: ими отмечают места, откуда проводят линии или где линии должны закончиться. Чтобы поставить точку, сделай на бумаге небольшую отметку и рядом напиши её заглавное латинское имя. Букву ставь близко к отметке, но так, чтобы она не закрывала её. Тогда можно будет понять, где находится точка и к каким фигурам она относится.

Прямая, луч и отрезок похожи тем, что выглядят как линии, но различаются концами. У прямой концов нет, и на рисунке её обычно показывают со стрелками, которые напоминают о продолжении в обе стороны. У луча есть начало, а дальше он продолжается только в одном направлении. У отрезка два конца, поэтому его рисуют между двумя точками без продолжения за них; если сомневаешься, ищи концы или стрелки.

Чтобы построить отрезок заданной длины, сначала выбери его первый конец и отметь точку. Приложи линейку так, чтобы нулевая отметка совпала с этой точкой, найди нужное число сантиметров и поставь там второй конец. Затем проведи между точками прямую линию. Для проверки измерь получившийся отрезок ещё раз: если начало линейки стоит на нуле, у второго конца должна быть заданная отметка.

Угол получается, когда два луча выходят из одной точки и расходятся в разные стороны. Эта точка становится вершиной, а сами лучи — сторонами угла, поэтому при обозначении важно не перепутать их роли. Для угла с вершиной O и сторонами, проходящими через A и B, используют запись ∠AOB или ∠BOA: O всегда стоит посередине. Так по буквам можно определить, где вершина и какие лучи образуют угол.

Чертёж читают внимательно, переходя от обозначений к фигурам. Сначала найди точки по буквам, затем проверь, какие из них являются концами отрезков: отрезок ограничен именно отмеченными концами. У угла найди два луча и точку, из которой они выходят, — это вершина. Такой порядок помогает не принять часть прямой за отрезок и верно назвать фигуру.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала найди в таблице фигуру, которую нужно распознать, а затем сравни её признаки с чертежом. Особенно полезно проверить, есть ли у линии начало, концы или общая вершина. Последний столбец подскажет, какими буквами фигуру можно обозначить.

Разбор задач

Точки A и B и прямая через них

Условие. Отметь на чертеже точки A и B и проведи через них прямую. Нужно не перепутать сами точки с линией, которая через них проходит. Точки задают места, а прямая показывает направление линии.

1. Поставь на листе две небольшие отметки и подпиши их заглавными латинскими буквами A и B.
2. Приложи линейку к отметкам так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи линию.
3. Обозначь её как прямую AB или добавь стрелки по обоим концам нарисованной части, чтобы показать, что прямая продолжается дальше.

Ответ. На чертеже отмечены точки A и B, через которые проведена прямая AB. Стрелки напоминают, что линия не заканчивается у края рисунка. Поэтому нарисованная часть — изображение прямой, а не отдельный отрезок.

Отрезок AB длиной 4 см

Условие. Построй отрезок AB длиной 4 см и подпиши его концы. Чтобы длина получилась точной, нужно правильно совместить начало линейки с первой точкой. Измерение после построения поможет проверить результат.

1. Поставь точку A и приложи линейку так, чтобы она проходила через неё, а отметка 0 совпала с A.
2. Найди на линейке отметку 4 см и поставь там точку B. Проведи по линейке линию от A до B, не продолжая её за отмеченные концы.
3. Подпиши концы буквами A и B. Проверь длину: при совмещённом с A нуле точка B должна находиться у отметки 4 см.

Ответ. Построен отрезок AB длиной 4 см. Если при проверке отметки не совпали, поправь расположение точек или проведи отрезок заново. Буквы у его концов показывают, какой именно отрезок построен.

Угол с вершиной O

Условие. Начерти угол с вершиной O и сторонами, проходящими через точки A и B; назови его. Стороны должны выходить из одной общей точки, иначе угол не получится. Обозначение должно передавать и вершину, и направления сторон.

1. Отметь точку O — это будет общее начало двух лучей и вершина угла.
2. Проведи из O два луча в разных направлениях. На первом отметь точку A, на втором — точку B, чтобы было видно, через какие точки проходят стороны.
3. Запиши название ∠AOB: буква O стоит посередине, потому что она обозначает вершину. Можно также назвать этот угол ∠BOA.

Ответ. Получился угол AOB с вершиной O и сторонами OA и OB. Проверь, что оба луча начинаются в O. Если поменять местами A и B, название останется правильным, потому что вершина всё равно будет стоять в середине.

Типичные ошибки

Иногда прямую считают отрезком, потому что на листе видна только её часть. Так происходит из-за ограниченного размера чертежа, но прямая продолжается в обе стороны. Проверь обозначение и наличие стрелок: у прямой нет концов, а у отрезка есть два отмеченных конца.

Луч можно принять за отрезок, если смотреть только на проведённую линию и не замечать её границы. У луча есть одно начало, а отрезок ограничен двумя концами. Чтобы проверить себя, найди точку, из которой выходит линия, и посмотри, заканчивается ли она второй точкой или продолжается дальше.

При измерении бывает, что линейку кладут к краю отрезка, но не совмещают нулевую отметку с его концом. Тогда показание у второго конца не будет длиной отрезка, потому что начало отсчёта сдвинуто. Совмести ноль с первым концом и только потом считай сантиметры до второго.

Название угла иногда записывают только по двум сторонам или ставят букву вершины не на первое место в обозначении из трёх букв. Путаница возникает, если не определить общую точку лучей. Сначала найди вершину, затем запиши её букву посередине, например ∠AOB; проверь, что A и B находятся на разных сторонах угла.

Связь с другими темами

Чтобы работать с чертежами, нужно уметь пользоваться линейкой, различать цифры и сантиметры и аккуратно отмечать точки. Эти навыки помогают точно строить и измерять отрезки, а не только рисовать линии на глаз. Если нулевая отметка линейки совмещена с началом отрезка, измерение получается понятнее и надёжнее.

Точки, отрезки и углы встречаются в многоугольниках и треугольниках: отрезки образуют их стороны, а в местах соединения сторон находятся вершины и углы. Умение находить и измерять отрезки пригодится также при вычислении периметра — общей длины границы фигуры. Поэтому распознавание простых фигур помогает перейти к изучению более сложных.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Отрезок ограничен двумя концами и имеет длину.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.